Integral de ((8x+44)/(x+2)-10) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-10\right)\, dx = - 10 x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 8 x$.

         Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 44}{u + 16}\, du$

         1. que $u = u + 16$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u + 28}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 28}{u} = 1 + \frac{28}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{28}{u}\, du = 28 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $28 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 28 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u + 28 \log{\left(u + 16 \right)} + 16$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $8 x + 28 \log{\left(8 x + 16 \right)} + 16$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{8 x + 44}{x + 2} = 8 + \frac{28}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 8\, dx = 8 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{28}{x + 2}\, dx = 28 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $28 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $8 x + 28 \log{\left(x + 2 \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{8 x + 44}{x + 2} = \frac{8 x}{x + 2} + \frac{44}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8 x}{x + 2}\, dx = 8 \int \frac{x}{x + 2}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 x - 16 \log{\left(x + 2 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{44}{x + 2}\, dx = 44 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $44 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $8 x - 16 \log{\left(x + 2 \right)} + 44 \log{\left(x + 2 \right)}$

   El resultado es: $- 2 x + 28 \log{\left(8 x + 16 \right)} + 16$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x + 28 \log{\left(8 x + 16 \right)} + 16+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x + 28 \log{\left(8 x + 16 \right)} + 16+ \mathrm{constant}$