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Resolución de integrales/ sqrt2/ (X-1)/ 2*x-1/ (X-1)/(sqrt2*x-1)

Integral de (X-1)/(sqrt2*x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     x - 1      
 |  ----------- dx
 |    ___         
 |  \/ 2 *x - 1   
 |                
/                 
0
∫01x−12x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\sqrt{2} x - 1}\, dx 
Integral((x - 1)/(sqrt(2)*x - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−12x−1=22+−2+22(2x−1)\frac{x - 1}{\sqrt{2} x - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-2 + \sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫22 dx=2x2\int \frac{\sqrt{2}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫−2+22(2x−1) dx=(−1+22)∫12x−1 dx\int \frac{-2 + \sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} x - 1\right)}\, dx = \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \int \frac{1}{\sqrt{2} x - 1}\, dx

        1. que u=2x−1u = \sqrt{2} x - 1.

          Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

          ∫22u du\int \frac{\sqrt{2}}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=2∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(−1+22)log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: 2x2+2(−1+22)log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2} \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−12x−1=x2x−1−12x−1\frac{x - 1}{\sqrt{2} x - 1} = \frac{x}{\sqrt{2} x - 1} - \frac{1}{\sqrt{2} x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2x−1=22+22(2x−1)\frac{x}{\sqrt{2} x - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫22 dx=2x2\int \frac{\sqrt{2}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫22(2x−1) dx=2∫12x−1 dx2\int \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} x - 1\right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{2} x - 1}\, dx}{2}

          1. que u=2x−1u = \sqrt{2} x - 1.

            Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

            ∫22u du\int \frac{\sqrt{2}}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=2∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

        El resultado es: 2x2+log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x−1) dx=−∫12x−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{2} x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{2} x - 1}\, dx

        1. que u=2x−1u = \sqrt{2} x - 1.

          Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

          ∫22u du\int \frac{\sqrt{2}}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=2∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(2x−1)2- \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: 2x2−2log⁡(2x−1)2+log⁡(2x−1)2\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    2(2x−(2−2)log⁡(2x−1))4\frac{\sqrt{2} \left(2 x - \left(2 - \sqrt{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(2x−(2−2)log⁡(2x−1))4+constant\frac{\sqrt{2} \left(2 x - \left(2 - \sqrt{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(2x−(2−2)log⁡(2x−1))4+constant\frac{\sqrt{2} \left(2 x - \left(2 - \sqrt{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                        /       ___\                  
  /                                 ___ |     \/ 2 |    /         ___\
 |                          ___   \/ 2 *|-1 + -----|*log\-1 + x*\/ 2 /
 |    x - 1             x*\/ 2          \       2  /                  
 | ----------- dx = C + ------- + ------------------------------------
 |   ___                   2                       2                  
 | \/ 2 *x - 1                                                        
 |                                                                    
/
∫x−12x−1 dx=C+2x2+2(−1+22)log⁡(2x−1)2\int \frac{x - 1}{\sqrt{2} x - 1}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2} \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
0.324579546211709
0.324579546211709

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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