Sr Examen
Integral de (3x+5)/(x^2+4x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x + 5 | ------------ dx | 2 | x + 4*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 5}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((3*x + 5)/(x^2 + 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x + 5 | ------------ dx | 2 | x + 4*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x + 4
3*------------ /-1 \
2 |---|
3*x + 5 x + 4*x + 5 \ 1 /
------------ = -------------- + -------------
2 2 2
x + 4*x + 5 (-x - 2) + 1o
/ | | 3*x + 5 | ------------ dx | 2 = | x + 4*x + 5 | /
/
|
| 2*x + 4
3* | ------------ dx
| 2
/ | x + 4*x + 5
| |
| 1 /
- | ------------- dx + --------------------
| 2 2
| (-x - 2) + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 4
3* | ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 4*x
entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ----- du
| 5 + u
|
/ 3*log(5 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 4
3* | ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5
| / 2 \
/ 3*log\5 + x + 4*x/
-------------------- = -------------------
2 2 En integral
/ | | 1 - | ------------- dx | 2 | (-x - 2) + 1 | /
hacemos el cambio
v = -2 - x
entonces
integral =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 - | ------------- dx = -atan(2 + x) | 2 | (-x - 2) + 1 | /
La solución:
/ 2 \
3*log\5 + x + 4*x/
C - atan(2 + x) + -------------------
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | 3*x + 5 3*log\5 + x + 4*x/ | ------------ dx = C - atan(2 + x) + ------------------- | 2 2 | x + 4*x + 5 | /
$$\int \frac{3 x + 5}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
3*log(5) 3*log(10)
-atan(3) - -------- + --------- + atan(2)
2 2
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(3 \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$
=
=
3*log(5) 3*log(10)
-atan(3) - -------- + --------- + atan(2)
2 2
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(3 \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$
-atan(3) - 3*log(5)/2 + 3*log(10)/2 + atan(2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.