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Resolución de integrales/ 1-x^3/ x^5/(1-x^3)

Integral de x^5/(1-x^3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     5     
 |    x      
 |  ------ dx
 |       3   
 |  1 - x    
 |           
/            
0
∫01x51−x3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{5}}{1 - x^{3}}\, dx 
Integral(x^5/(1 - x^3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u3u−3) du\int \left(- \frac{u}{3 u - 3}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3u−3 du=−∫u3u−3 du\int \frac{u}{3 u - 3}\, du = - \int \frac{u}{3 u - 3}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3u−3=13+13(u−1)\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(u−1) du=∫1u−1 du3\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)3\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

          El resultado es: u3+log⁡(u−1)3\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −u3−log⁡(u−1)3- \frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x33−log⁡(x3−1)3- \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x51−x3=−x2−2x+13(x2+x+1)−13(x−1)\frac{x^{5}}{1 - x^{3}} = - x^{2} - \frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x+13(x2+x+1)) dx=−∫2x+1x2+x+1 dx3\int \left(- \frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}\, dx}{3}

        1. que u=x2+x+1u = x^{2} + x + 1.

          Luego que du=(2x+1)dxdu = \left(2 x + 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2+x+1)\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2+x+1)3- \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

      El resultado es: −x33−log⁡(x−1)3−log⁡(x2+x+1)3- \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x51−x3=−x5x3−1\frac{x^{5}}{1 - x^{3}} = - \frac{x^{5}}{x^{3} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x5x3−1) dx=−∫x5x3−1 dx\int \left(- \frac{x^{5}}{x^{3} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1}\, dx

      1. que u=x3u = x^{3}.

        Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

        ∫u3u−3 du\int \frac{u}{3 u - 3}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3u−3=13+13(u−1)\frac{u}{3 u - 3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(u−1) du=∫1u−1 du3\int \frac{1}{3 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{3}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)3\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

          El resultado es: u3+log⁡(u−1)3\frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x33+log⁡(x3−1)3\frac{x^{3}}{3} + \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −x33−log⁡(x3−1)3- \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x33−log⁡(x3−1)3+constant- \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x33−log⁡(x3−1)3+constant- \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                                  
 |    5             3      /      3\
 |   x             x    log\-1 + x /
 | ------ dx = C - -- - ------------
 |      3          3         3      
 | 1 - x                            
 |                                  
/
∫x51−x3 dx=C−x33−log⁡(x3−1)3\int \frac{x^{5}}{1 - x^{3}}\, dx = C - \frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     pi*I
oo + ----
      3
∞+iπ3\infty + \frac{i \pi}{3} 
=
= 
     pi*I
oo + ----
      3
∞+iπ3\infty + \frac{i \pi}{3} 
oo + pi*i/3
Respuesta numérica [src] 
13.9974481658491
13.9974481658491

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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