Integral de (1-x^4)/(1-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - x^{4}}{1 - x} = x^{3} + x^{2} + x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - x^{4}}{1 - x} = - \frac{x^{4}}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{4}}{1 - x}\right)\, dx = - \int \frac{x^{4}}{1 - x}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{4}}{1 - x} = - x^{3} - x^{2} - x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(1 - x \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left(1 - x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{2} + 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{2} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{2} + 1\right)+ \mathrm{constant}$