Integral de cos(t)cos(4t) dt

Solución

Ha introducido [src]

 pi                   
  /                   
 |                    
 |  cos(t)*cos(4*t) dt
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{\pi} \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt$$

Integral(cos(t)*cos(4*t), (t, 0, pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)} = 8 \cos^{5}{\left(t \right)} - 8 \cos^{3}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 8 \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt = 8 \int \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{5}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}$
  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
    Método #2
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{16 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 8 \sin{\left(t \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 8 \cos^{3}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 8 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$
  2. que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
    1. Integramos término a término:
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int 1\, du = u$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} - 8 \sin{\left(t \right)}$
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
El resultado es: $\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                              3           5            
 |                          8*sin (t)   8*sin (t)         
 | cos(t)*cos(4*t) dt = C - --------- + --------- + sin(t)
 |                              3           5             
/

$$\int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt = C + \frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

$$0$$

Respuesta numérica [src]

1.22464679494395e-16

1.22464679494395e-16

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos(t)cos(4t) dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos(t)*cos(4*t) dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Integral de cos(t)cos(4t) dt