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Resolución de integrales/ cos(t)/ cos(t)*cos(4*t)

Integral de cos(t)*cos(4*t) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
  /                   
 |                    
 |  cos(t)*cos(4*t) dt
 |                    
/                     
0
∫0πcos⁡(t)cos⁡(4t) dt\int\limits_{0}^{\pi} \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt 
Integral(cos(t)*cos(4*t), (t, 0, pi))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡(t)cos⁡(4t)=8cos⁡5(t)−8cos⁡3(t)+cos⁡(t)\cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)} = 8 \cos^{5}{\left(t \right)} - 8 \cos^{3}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫8cos⁡5(t) dt=8∫cos⁡5(t) dt\int 8 \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt = 8 \int \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡5(t)=(1−sin⁡2(t))2cos⁡(t)\cos^{5}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(t))2cos⁡(t)=sin⁡4(t)cos⁡(t)−2sin⁡2(t)cos⁡(t)+cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(t)cos⁡(t)) dt=−2∫sin⁡2(t)cos⁡(t) dt\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(t)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          El resultado es: sin⁡5(t)5−2sin⁡3(t)3+sin⁡(t)\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(t))2cos⁡(t)=sin⁡4(t)cos⁡(t)−2sin⁡2(t)cos⁡(t)+cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(t)cos⁡(t)) dt=−2∫sin⁡2(t)cos⁡(t) dt\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(t)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          El resultado es: sin⁡5(t)5−2sin⁡3(t)3+sin⁡(t)\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡5(t)5−16sin⁡3(t)3+8sin⁡(t)\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{16 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 8 \sin{\left(t \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−8cos⁡3(t)) dt=−8∫cos⁡3(t) dt\int \left(- 8 \cos^{3}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 8 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡3(t)=(1−sin⁡2(t))cos⁡(t)\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}

      2. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

        Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

        ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

        Si ahora sustituir uu más en:

        −sin⁡3(t)3+sin⁡(t)- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡3(t)3−8sin⁡(t)\frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} - 8 \sin{\left(t \right)}

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

    El resultado es: 8sin⁡5(t)5−8sin⁡3(t)3+sin⁡(t)\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (24sin⁡4(t)−40sin⁡2(t)+15)sin⁡(t)15\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (24sin⁡4(t)−40sin⁡2(t)+15)sin⁡(t)15+constant\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(24sin⁡4(t)−40sin⁡2(t)+15)sin⁡(t)15+constant\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              3           5            
 |                          8*sin (t)   8*sin (t)         
 | cos(t)*cos(4*t) dt = C - --------- + --------- + sin(t)
 |                              3           5             
/
∫cos⁡(t)cos⁡(4t) dt=C+8sin⁡5(t)5−8sin⁡3(t)3+sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt = C + \frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
1.22464679494395e-16
1.22464679494395e-16

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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