Sr Examen

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Integral de cos(t)*cos(4*t) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi                   
  /                   
 |                    
 |  cos(t)*cos(4*t) dt
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/                     
0                     
0πcos(t)cos(4t)dt\int\limits_{0}^{\pi} \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt
Integral(cos(t)*cos(4*t), (t, 0, pi))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos(t)cos(4t)=8cos5(t)8cos3(t)+cos(t)\cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)} = 8 \cos^{5}{\left(t \right)} - 8 \cos^{3}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      8cos5(t)dt=8cos5(t)dt\int 8 \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt = 8 \int \cos^{5}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos5(t)=(1sin2(t))2cos(t)\cos^{5}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1sin2(t))2cos(t)=sin4(t)cos(t)2sin2(t)cos(t)+cos(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            u4du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2sin2(t)cos(t))dt=2sin2(t)cos(t)dt\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              u2du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(t)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(t)dt=sin(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          El resultado es: sin5(t)52sin3(t)3+sin(t)\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1sin2(t))2cos(t)=sin4(t)cos(t)2sin2(t)cos(t)+cos(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} = \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} - 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            u4du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2sin2(t)cos(t))dt=2sin2(t)cos(t)dt\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              u2du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(t)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(t)dt=sin(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          El resultado es: sin5(t)52sin3(t)3+sin(t)\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin5(t)516sin3(t)3+8sin(t)\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{16 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 8 \sin{\left(t \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (8cos3(t))dt=8cos3(t)dt\int \left(- 8 \cos^{3}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 8 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos3(t)=(1sin2(t))cos(t)\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}

      2. que u=sin(t)u = \sin{\left(t \right)}.

        Luego que du=cos(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

        (1u2)du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin3(t)3+sin(t)- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin3(t)38sin(t)\frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} - 8 \sin{\left(t \right)}

    1. La integral del coseno es seno:

      cos(t)dt=sin(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

    El resultado es: 8sin5(t)58sin3(t)3+sin(t)\frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (24sin4(t)40sin2(t)+15)sin(t)15\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (24sin4(t)40sin2(t)+15)sin(t)15+constant\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(24sin4(t)40sin2(t)+15)sin(t)15+constant\frac{\left(24 \sin^{4}{\left(t \right)} - 40 \sin^{2}{\left(t \right)} + 15\right) \sin{\left(t \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                              3           5            
 |                          8*sin (t)   8*sin (t)         
 | cos(t)*cos(4*t) dt = C - --------- + --------- + sin(t)
 |                              3           5             
/                                                         
cos(t)cos(4t)dt=C+8sin5(t)58sin3(t)3+sin(t)\int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(4 t \right)}\, dt = C + \frac{8 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-2
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
1.22464679494395e-16
1.22464679494395e-16

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.