Integral de 1+sin2x/sinx^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 \cos{\left(x \right)} dx}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

   El resultado es: $x - \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$