Integral de 4*x^3-2^(3*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2^{3 x}\right)\, dx = - \int 2^{3 x}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{2^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

   El resultado es: $- \frac{2^{3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}} + x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{- 8^{x} + x^{4} \log{\left(8 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- 8^{x} + x^{4} \log{\left(8 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 8^{x} + x^{4} \log{\left(8 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$