Integral de (49-x^2)/(x+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{49 - x^{2}}{x + 7} = 7 - x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 7\, dx = 7 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{49 - x^{2}}{x + 7} = - \frac{x^{2}}{x + 7} + \frac{49}{x + 7}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{x + 7}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x + 7}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x + 7} = x - 7 + \frac{49}{x + 7}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-7\right)\, dx = - 7 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{49}{x + 7}\, dx = 49 \int \frac{1}{x + 7}\, dx$

               1. que $u = x + 7$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 7 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $49 \log{\left(x + 7 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 7 x + 49 \log{\left(x + 7 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 7 x - 49 \log{\left(x + 7 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{49}{x + 7}\, dx = 49 \int \frac{1}{x + 7}\, dx$

         1. que $u = x + 7$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 7 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $49 \log{\left(x + 7 \right)}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + 49 \log{\left(x + 7 \right)} - 49 \log{\left(x + 7 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(14 - x\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(14 - x\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(14 - x\right)}{2}+ \mathrm{constant}$