Integral de С(x-1)(3-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(c u^{2} - 2 c u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2} c\, du = c \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} c}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u c\right)\, du = - 2 c \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} c$

         El resultado es: $\frac{u^{3} c}{3} - u^{2} c$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{c \left(3 - x\right)^{3}}{3} - c \left(3 - x\right)^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $c \left(x - 1\right) \left(3 - x\right) = - c x^{2} + 4 c x - 3 c$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- c x^{2}\right)\, dx = - c \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{c x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 c x\, dx = 4 c \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 c x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- 3 c\right)\, dx = - 3 c x$

      El resultado es: $- \frac{c x^{3}}{3} + 2 c x^{2} - 3 c x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{c x \left(x - 3\right)^{2}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{c x \left(x - 3\right)^{2}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{c x \left(x - 3\right)^{2}}{3}+ \mathrm{constant}$