Integral de ∫−12x^dxcos2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{1}$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $- 12 du$:

      $\int \left(- 12 u \cos{\left(2 u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \cos{\left(2 u \right)}\, du = - 12 \int u \cos{\left(2 u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}$

               Método #2

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u\, du = - \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 u \sin{\left(2 u \right)} - 3 \cos{\left(2 u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 12 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -12$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 6 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \cos{\left(2 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$