Integral de x^(-1/2)*(x-1/2)*(x)*(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4} - 3 u^{2} + 2}{u^{8}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4} - 3 u^{2} + 2}{u^{8}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 3 u^{2} + 2}{u^{8}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{4} - 3 u^{2} + 2}{u^{8}} = \frac{1}{u^{4}} - \frac{3}{u^{6}} + \frac{2}{u^{8}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{8}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{7 u^{7}}$

            El resultado es: $- \frac{1}{3 u^{3}} + \frac{3}{5 u^{5}} - \frac{2}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u^{3}} - \frac{3}{5 u^{5}} + \frac{2}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x - \frac{1}{2}}{\sqrt{x}} \left(x - 1\right) = x^{\frac{5}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{x}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(30 x^{2} - 63 x + 35\right)}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(30 x^{2} - 63 x + 35\right)}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(30 x^{2} - 63 x + 35\right)}{105}+ \mathrm{constant}$