Integral de 1/(a^2)*(cos(pi*x/a))^2*(sin(2*pi*y/b))^2+4/(b^2)*(sin(pi*x/a))^2*(cos(2*pi*y/b))^2 dy
Solución
Solución detallada
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos 2 ( π x a ) a 2 sin 2 ( 2 π y b ) d y = cos 2 ( π x a ) ∫ sin 2 ( 2 π y b ) d y a 2 \int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{a^{2}} \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)}\, dy = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} \int \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)}\, dy}{a^{2}} ∫ a 2 c o s 2 ( a π x ) sin 2 ( b 2 π y ) d y = a 2 c o s 2 ( a π x ) ∫ s i n 2 ( b 2 π y ) d y
Vuelva a escribir el integrando:
sin 2 ( 2 π y b ) = 1 2 − cos ( 4 π y b ) 2 \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{2} sin 2 ( b 2 π y ) = 2 1 − 2 c o s ( b 4 π y )
Integramos término a término:
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 1 2 d y = y 2 \int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2} ∫ 2 1 d y = 2 y
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − cos ( 4 π y b ) 2 ) d y = − ∫ cos ( 4 π y b ) d y 2 \int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{2}\right)\, dy = - \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}\, dy}{2} ∫ ( − 2 c o s ( b 4 π y ) ) d y = − 2 ∫ c o s ( b 4 π y ) d y
que u = 4 π y b u = \frac{4 \pi y}{b} u = b 4 π y
Luego que d u = 4 π d y b du = \frac{4 \pi dy}{b} d u = b 4 π d y b d u 4 π \frac{b du}{4 \pi} 4 π b d u
∫ b cos ( u ) 4 π d u \int \frac{b \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du ∫ 4 π b c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = b ∫ cos ( u ) d u 4 π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{b \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi} ∫ cos ( u ) d u = 4 π b ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: b sin ( u ) 4 π \frac{b \sin{\left(u \right)}}{4 \pi} 4 π b s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u
b sin ( 4 π y b ) 4 π \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{4 \pi} 4 π b s i n ( b 4 π y )
Por lo tanto, el resultado es: − b sin ( 4 π y b ) 8 π - \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} − 8 π b s i n ( b 4 π y )
El resultado es: − b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 - \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2} − 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y
Por lo tanto, el resultado es: ( − b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) cos 2 ( π x a ) a 2 \frac{\left(- \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{a^{2}} a 2 ( − 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) c o s 2 ( a π x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 4 b 2 sin 2 ( π x a ) cos 2 ( 2 π y b ) d y = 4 sin 2 ( π x a ) ∫ cos 2 ( 2 π y b ) d y b 2 \int \frac{4}{b^{2}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)}\, dy = \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} \int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)}\, dy}{b^{2}} ∫ b 2 4 sin 2 ( a π x ) cos 2 ( b 2 π y ) d y = b 2 4 s i n 2 ( a π x ) ∫ c o s 2 ( b 2 π y ) d y
Vuelva a escribir el integrando:
cos 2 ( 2 π y b ) = cos ( 4 π y b ) 2 + 1 2 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{2} + \frac{1}{2} cos 2 ( b 2 π y ) = 2 c o s ( b 4 π y ) + 2 1
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( 4 π y b ) 2 d y = ∫ cos ( 4 π y b ) d y 2 \int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{2}\, dy = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}\, dy}{2} ∫ 2 c o s ( b 4 π y ) d y = 2 ∫ c o s ( b 4 π y ) d y
que u = 4 π y b u = \frac{4 \pi y}{b} u = b 4 π y
Luego que d u = 4 π d y b du = \frac{4 \pi dy}{b} d u = b 4 π d y b d u 4 π \frac{b du}{4 \pi} 4 π b d u
∫ b cos ( u ) 4 π d u \int \frac{b \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du ∫ 4 π b c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = b ∫ cos ( u ) d u 4 π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{b \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi} ∫ cos ( u ) d u = 4 π b ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: b sin ( u ) 4 π \frac{b \sin{\left(u \right)}}{4 \pi} 4 π b s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u
b sin ( 4 π y b ) 4 π \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{4 \pi} 4 π b s i n ( b 4 π y )
Por lo tanto, el resultado es: b sin ( 4 π y b ) 8 π \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} 8 π b s i n ( b 4 π y )
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 1 2 d y = y 2 \int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2} ∫ 2 1 d y = 2 y
El resultado es: b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2} 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y
Por lo tanto, el resultado es: 4 ( b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) sin 2 ( π x a ) b 2 \frac{4 \left(\frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{b^{2}} b 2 4 ( 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) s i n 2 ( a π x )
El resultado es: 4 ( b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) sin 2 ( π x a ) b 2 + ( − b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) cos 2 ( π x a ) a 2 \frac{4 \left(\frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{b^{2}} + \frac{\left(- \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{a^{2}} b 2 4 ( 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) s i n 2 ( a π x ) + a 2 ( − 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) c o s 2 ( a π x )
Ahora simplificar:
4 a 2 ( b sin ( 4 π y b ) + 4 π y ) sin 2 ( π x a ) − b 2 ( b sin ( 4 π y b ) − 4 π y ) cos 2 ( π x a ) 8 π a 2 b 2 \frac{4 a^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} + 4 \pi y\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} - b^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} - 4 \pi y\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{8 \pi a^{2} b^{2}} 8 π a 2 b 2 4 a 2 ( b s i n ( b 4 π y ) + 4 π y ) s i n 2 ( a π x ) − b 2 ( b s i n ( b 4 π y ) − 4 π y ) c o s 2 ( a π x )
Añadimos la constante de integración:
4 a 2 ( b sin ( 4 π y b ) + 4 π y ) sin 2 ( π x a ) − b 2 ( b sin ( 4 π y b ) − 4 π y ) cos 2 ( π x a ) 8 π a 2 b 2 + c o n s t a n t \frac{4 a^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} + 4 \pi y\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} - b^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} - 4 \pi y\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{8 \pi a^{2} b^{2}}+ \mathrm{constant} 8 π a 2 b 2 4 a 2 ( b s i n ( b 4 π y ) + 4 π y ) s i n 2 ( a π x ) − b 2 ( b s i n ( b 4 π y ) − 4 π y ) c o s 2 ( a π x ) + constant
Respuesta:
4 a 2 ( b sin ( 4 π y b ) + 4 π y ) sin 2 ( π x a ) − b 2 ( b sin ( 4 π y b ) − 4 π y ) cos 2 ( π x a ) 8 π a 2 b 2 + c o n s t a n t \frac{4 a^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} + 4 \pi y\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} - b^{2} \left(b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)} - 4 \pi y\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{8 \pi a^{2} b^{2}}+ \mathrm{constant} 8 π a 2 b 2 4 a 2 ( b s i n ( b 4 π y ) + 4 π y ) s i n 2 ( a π x ) − b 2 ( b s i n ( b 4 π y ) − 4 π y ) c o s 2 ( a π x ) + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / /4*pi*y\\ / /4*pi*y\\
| | b*sin|------|| | b*sin|------||
| / 2/pi*x\ \ 2/pi*x\ |y \ b /| 2/pi*x\ |y \ b /|
| |cos |----| | cos |----|*|- - -------------| 4*sin |----|*|- + -------------|
| | \ a / 2/2*pi*y\ 4 2/pi*x\ 2/2*pi*y\| \ a / \2 8*pi / \ a / \2 8*pi /
| |----------*sin |------| + --*sin |----|*cos |------|| dy = C + ------------------------------ + --------------------------------
| | 2 \ b / 2 \ a / \ b /| 2 2
| \ a b / a b
|
/
∫ ( cos 2 ( π x a ) a 2 sin 2 ( 2 π y b ) + 4 b 2 sin 2 ( π x a ) cos 2 ( 2 π y b ) ) d y = C + 4 ( b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) sin 2 ( π x a ) b 2 + ( − b sin ( 4 π y b ) 8 π + y 2 ) cos 2 ( π x a ) a 2 \int \left(\frac{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{a^{2}} \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)} + \frac{4}{b^{2}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi y}{b} \right)}\right)\, dy = C + \frac{4 \left(\frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{b^{2}} + \frac{\left(- \frac{b \sin{\left(\frac{4 \pi y}{b} \right)}}{8 \pi} + \frac{y}{2}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{a^{2}} ∫ ( a 2 cos 2 ( a π x ) sin 2 ( b 2 π y ) + b 2 4 sin 2 ( a π x ) cos 2 ( b 2 π y ) ) d y = C + b 2 4 ( 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) sin 2 ( a π x ) + a 2 ( − 8 π b s i n ( b 4 π y ) + 2 y ) cos 2 ( a π x )
/ / /2*pi\ /2*pi\\ / /2*pi\ /2*pi\\
| | cos|----|*sin|----|| | cos|----|*sin|----||
| 2/pi*x\ |pi \ b / \ b /| 2/pi*x\ |pi \ b / \ b /|
|2*sin |----|*|-- + -------------------| b*cos |----|*|-- - -------------------|
| \ a / \b 2 / \ a / \b 2 /
|--------------------------------------- + --------------------------------------- for And(b > -oo, b < oo, b != 0)
| pi*b 2
< 2*pi*a
|
| 2/pi*x\
| 4*sin |----|
| \ a /
| ------------ otherwise
| 2
\ b
{ 2 ( sin ( 2 π b ) cos ( 2 π b ) 2 + π b ) sin 2 ( π x a ) π b + b ( − sin ( 2 π b ) cos ( 2 π b ) 2 + π b ) cos 2 ( π x a ) 2 π a 2 for b > − ∞ ∧ b < ∞ ∧ b ≠ 0 4 sin 2 ( π x a ) b 2 otherwise \begin{cases} \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)}}{2} + \frac{\pi}{b}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{\pi b} + \frac{b \left(- \frac{\sin{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)}}{2} + \frac{\pi}{b}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{2 \pi a^{2}} & \text{for}\: b > -\infty \wedge b < \infty \wedge b \neq 0 \\\frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{b^{2}} & \text{otherwise} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ πb 2 ( 2 s i n ( b 2 π ) c o s ( b 2 π ) + b π ) s i n 2 ( a π x ) + 2 π a 2 b ( − 2 s i n ( b 2 π ) c o s ( b 2 π ) + b π ) c o s 2 ( a π x ) b 2 4 s i n 2 ( a π x ) for b > − ∞ ∧ b < ∞ ∧ b = 0 otherwise
=
/ / /2*pi\ /2*pi\\ / /2*pi\ /2*pi\\
| | cos|----|*sin|----|| | cos|----|*sin|----||
| 2/pi*x\ |pi \ b / \ b /| 2/pi*x\ |pi \ b / \ b /|
|2*sin |----|*|-- + -------------------| b*cos |----|*|-- - -------------------|
| \ a / \b 2 / \ a / \b 2 /
|--------------------------------------- + --------------------------------------- for And(b > -oo, b < oo, b != 0)
| pi*b 2
< 2*pi*a
|
| 2/pi*x\
| 4*sin |----|
| \ a /
| ------------ otherwise
| 2
\ b
{ 2 ( sin ( 2 π b ) cos ( 2 π b ) 2 + π b ) sin 2 ( π x a ) π b + b ( − sin ( 2 π b ) cos ( 2 π b ) 2 + π b ) cos 2 ( π x a ) 2 π a 2 for b > − ∞ ∧ b < ∞ ∧ b ≠ 0 4 sin 2 ( π x a ) b 2 otherwise \begin{cases} \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)}}{2} + \frac{\pi}{b}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{\pi b} + \frac{b \left(- \frac{\sin{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{b} \right)}}{2} + \frac{\pi}{b}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{2 \pi a^{2}} & \text{for}\: b > -\infty \wedge b < \infty \wedge b \neq 0 \\\frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}}{b^{2}} & \text{otherwise} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ πb 2 ( 2 s i n ( b 2 π ) c o s ( b 2 π ) + b π ) s i n 2 ( a π x ) + 2 π a 2 b ( − 2 s i n ( b 2 π ) c o s ( b 2 π ) + b π ) c o s 2 ( a π x ) b 2 4 s i n 2 ( a π x ) for b > − ∞ ∧ b < ∞ ∧ b = 0 otherwise
Piecewise((2*sin(pi*x/a)^2*(pi/b + cos(2*pi/b)*sin(2*pi/b)/2)/(pi*b) + b*cos(pi*x/a)^2*(pi/b - cos(2*pi/b)*sin(2*pi/b)/2)/(2*pi*a^2), (b > -oo)∧(b < oo)∧(Ne(b, 0))), (4*sin(pi*x/a)^2/b^2, True))
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.
