Integral de (x+2)ln(4x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 2\right) \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{2 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 \log{\left(2 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x + 4 x \log{\left(2 \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 2$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, dx = 2 x$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{2}}{2} + 2 x}{x} = \frac{x}{2} + 2$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + 2 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 2\right) \log{\left(4 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{2 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 \log{\left(2 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x + 4 x \log{\left(2 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(16 \right)} + 8 \log{\left(x \right)} - 8 + \log{\left(65536 \right)}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(16 \right)} + 8 \log{\left(x \right)} - 8 + \log{\left(65536 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(16 \right)} + 8 \log{\left(x \right)} - 8 + \log{\left(65536 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$