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Resolución de integrales/ ln(x)/ ln(x)/x^4

Integral de ln(x)/x^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |     4     
 |    x      
 |           
/            
0
∫01log⁡(x)x4 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}}\, dx 
Integral(log(x)/x^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue−3u du\int u e^{- 3 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 3 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−3uu = - 3 u.

          Luego que du=−3dudu = - 3 du y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−3u3- \frac{e^{- 3 u}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−3u3) du=−∫e−3u du3\int \left(- \frac{e^{- 3 u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 3 u}\, du}{3}

        1. que u=−3uu = - 3 u.

          Luego que du=−3dudu = - 3 du y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−eu3) du\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu3- \frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−3u3- \frac{e^{- 3 u}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: e−3u9\frac{e^{- 3 u}}{9}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(x)3x3−19x3- \frac{\log{\left(x \right)}}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x4\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x4 dx=−13x3\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−13x4) dx=−∫1x4 dx3\int \left(- \frac{1}{3 x^{4}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{4}}\, dx}{3}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x4 dx=−13x3\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}

      Por lo tanto, el resultado es: 19x3\frac{1}{9 x^{3}}

  2. Ahora simplificar:

    −3log⁡(x)+19x3- \frac{3 \log{\left(x \right)} + 1}{9 x^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −3log⁡(x)+19x3+constant- \frac{3 \log{\left(x \right)} + 1}{9 x^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3log⁡(x)+19x3+constant- \frac{3 \log{\left(x \right)} + 1}{9 x^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                              
 | log(x)           1     log(x)
 | ------ dx = C - ---- - ------
 |    4               3       3 
 |   x             9*x     3*x  
 |                              
/
∫log⁡(x)x4 dx=C−log⁡(x)3x3−19x3\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-3.41065810797988e+58
-3.41065810797988e+58

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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