Integral de (x-2)*e^((-x)/3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \left(x - 2\right) = x e^{- \frac{x}{3}} - 2 e^{- \frac{x}{3}}$

2. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{3}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 3 e^{- \frac{x}{3}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 e^{- \frac{x}{3}}\right)\, dx = - 3 \int e^{- \frac{x}{3}}\, dx$

      1. que $u = - \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 3 e^{- \frac{x}{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $9 e^{- \frac{x}{3}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{3}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{3}}\, dx$

      1. que $u = - \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 3 e^{- \frac{x}{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{- \frac{x}{3}}$

   El resultado es: $- 3 x e^{- \frac{x}{3}} - 3 e^{- \frac{x}{3}}$

3. Ahora simplificar:

   $- \left(3 x + 3\right) e^{- \frac{x}{3}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(3 x + 3\right) e^{- \frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(3 x + 3\right) e^{- \frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$