Integral de (y^3*dy)/(4+y^4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = y^{4} + 4$.

      Luego que $du = 4 y^{3} dy$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(y^{4} + 4 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{3}}{y^{4} + 4} = \frac{y - 1}{2 \left(y^{2} - 2 y + 2\right)} + \frac{y + 1}{2 \left(y^{2} + 2 y + 2\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y - 1}{2 \left(y^{2} - 2 y + 2\right)}\, dy = \frac{\int \frac{y - 1}{y^{2} - 2 y + 2}\, dy}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{y - 1}{y^{2} - 2 y + 2}\, dy = \frac{\int \frac{2 y - 2}{y^{2} - 2 y + 2}\, dy}{2}$

            1. que $u = y^{2} - 2 y + 2$.

               Luego que $du = \left(2 y - 2\right) dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(y^{2} - 2 y + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} - 2 y + 2 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} - 2 y + 2 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y + 1}{2 \left(y^{2} + 2 y + 2\right)}\, dy = \frac{\int \frac{y + 1}{y^{2} + 2 y + 2}\, dy}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{y + 1}{y^{2} + 2 y + 2}\, dy = \frac{\int \frac{2 y + 2}{y^{2} + 2 y + 2}\, dy}{2}$

            1. que $u = y^{2} + 2 y + 2$.

               Luego que $du = \left(2 y + 2\right) dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(y^{2} + 2 y + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} + 2 y + 2 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} + 2 y + 2 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} - 2 y + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(y^{2} + 2 y + 2 \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(y^{4} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(y^{4} + 4 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$