Integral de (1+2x)^2/4√x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{8} + 2 u^{6} + \frac{u^{4}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{8}\, du = 2 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{4} \left(\sqrt{x}\right)^{3} = x^{\frac{7}{2}} + x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{7}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4}\, dx = \frac{\int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(140 x^{2} + 180 x + 63\right)}{630}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(140 x^{2} + 180 x + 63\right)}{630}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \left(140 x^{2} + 180 x + 63\right)}{630}+ \mathrm{constant}$