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Resolución de integrales/ x^2+x/ e^(-x/2)/ (x^2+x+5)*e^(-x/2)

Integral de (x^2+x+5)*e^(-x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |                -x    
 |                ---   
 |  / 2        \   2    
 |  \x  + x + 5/*E    dx
 |                      
/                       
0
∫01e(−1)x2((x2+x)+5) dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(\left(x^{2} + x\right) + 5\right)\, dx 
Integral((x^2 + x + 5)*E^((-x)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    e(−1)x2((x2+x)+5)=x2e−x2+xe−x2+5e−x2e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(\left(x^{2} + x\right) + 5\right) = x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + x e^{- \frac{x}{2}} + 5 e^{- \frac{x}{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

      Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

      Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫8e−x2 dx=8∫e−x2 dx\int 8 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: −16e−x2- 16 e^{- \frac{x}{2}}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2e−x2) dx=−2∫e−x2 dx\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 4e−x24 e^{- \frac{x}{2}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫5e−x2 dx=5∫e−x2 dx\int 5 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 5 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

      1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: −10e−x2- 10 e^{- \frac{x}{2}}

    El resultado es: −2x2e−x2−10xe−x2−30e−x2- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 10 x e^{- \frac{x}{2}} - 30 e^{- \frac{x}{2}}

  3. Ahora simplificar:

    −(2x2+10x+30)e−x2- \left(2 x^{2} + 10 x + 30\right) e^{- \frac{x}{2}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −(2x2+10x+30)e−x2+constant- \left(2 x^{2} + 10 x + 30\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(2x2+10x+30)e−x2+constant- \left(2 x^{2} + 10 x + 30\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |               -x               -x          -x          -x 
 |               ---              ---         ---         ---
 | / 2        \   2                2           2       2   2 
 | \x  + x + 5/*E    dx = C - 30*e    - 10*x*e    - 2*x *e   
 |                                                           
/
∫e(−1)x2((x2+x)+5) dx=C−2x2e−x2−10xe−x2−30e−x2\int e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(\left(x^{2} + x\right) + 5\right)\, dx = C - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 10 x e^{- \frac{x}{2}} - 30 e^{- \frac{x}{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         -1/2
30 - 42*e
30−42e1230 - \frac{42}{e^{\frac{1}{2}}} 
=
= 
         -1/2
30 - 42*e
30−42e1230 - \frac{42}{e^{\frac{1}{2}}} 
30 - 42*exp(-1/2)
Respuesta numérica [src] 
4.5257122920694
4.5257122920694

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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