Integral de (2*x+5)^(9/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 5$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{\frac{9}{4}}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{\frac{9}{4}}\, du = \frac{\int u^{\frac{9}{4}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{\frac{9}{4}}\, du = \frac{4 u^{\frac{13}{4}}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{13}{4}}}{13}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}} = 4 x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5} + 20 x \sqrt[4]{2 x + 5} + 25 \sqrt[4]{2 x + 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 4 \int x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = \sqrt[4]{2 x + 5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3} + 10 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3}\, du = 4 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{u^{12}}{8} - \frac{15 u^{8}}{8} + \frac{75 u^{4}}{8} - \frac{125}{8}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{12}}{8}\, du = \frac{\int u^{12}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{104}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{15 u^{8}}{8}\right)\, du = - \frac{15 \int u^{8}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{9}}{24}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{75 u^{4}}{8}\, du = \frac{75 \int u^{4}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 u^{5}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(- \frac{125}{8}\right)\, du = - \frac{125 u}{8}$

                     El resultado es: $\frac{u^{13}}{104} - \frac{5 u^{9}}{24} + \frac{15 u^{5}}{8} - \frac{125 u}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{26} - \frac{5 u^{9}}{6} + \frac{15 u^{5}}{2} - \frac{125 u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 10 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du = 10 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{u^{8}}{4} - \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{25}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{5 u^{4}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{4}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{u^{9}}{36} - \frac{u^{5}}{2} + \frac{25 u}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{9}}{18} - 5 u^{5} + \frac{125 u}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{13}}{26} - \frac{5 u^{9}}{9} + \frac{5 u^{5}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{26} - \frac{5 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{5 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13} - \frac{20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + 10 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20 x \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 20 \int x \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = \sqrt[4]{2 x + 5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(5 u^{4} + 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} - 25\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 5 u^{4}\, du = 5 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $u^{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du = 4 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{u^{8}}{4} - \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{25}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{5 u^{4}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{4}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{u^{9}}{36} - \frac{u^{5}}{2} + \frac{25 u}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - 2 u^{5} + 25 u$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-25\right)\, du = - 25 u$

               El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - u^{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} - \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} - 20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 25 \int \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt[4]{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{\int \sqrt[4]{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}} = 4 x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5} + 20 x \sqrt[4]{2 x + 5} + 25 \sqrt[4]{2 x + 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 4 \int x^{2} \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = \sqrt[4]{2 x + 5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3} + 10 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3}\, du = 4 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{u^{12}}{8} - \frac{15 u^{8}}{8} + \frac{75 u^{4}}{8} - \frac{125}{8}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{12}}{8}\, du = \frac{\int u^{12}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{104}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{15 u^{8}}{8}\right)\, du = - \frac{15 \int u^{8}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{9}}{24}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{75 u^{4}}{8}\, du = \frac{75 \int u^{4}\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 u^{5}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(- \frac{125}{8}\right)\, du = - \frac{125 u}{8}$

                     El resultado es: $\frac{u^{13}}{104} - \frac{5 u^{9}}{24} + \frac{15 u^{5}}{8} - \frac{125 u}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{26} - \frac{5 u^{9}}{6} + \frac{15 u^{5}}{2} - \frac{125 u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 10 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du = 10 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{u^{8}}{4} - \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{25}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{5 u^{4}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{4}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{u^{9}}{36} - \frac{u^{5}}{2} + \frac{25 u}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{9}}{18} - 5 u^{5} + \frac{125 u}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{13}}{26} - \frac{5 u^{9}}{9} + \frac{5 u^{5}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{26} - \frac{5 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{5 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13} - \frac{20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + 10 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20 x \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 20 \int x \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = \sqrt[4]{2 x + 5}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(5 u^{4} + 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} - 25\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 5 u^{4}\, du = 5 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $u^{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du = 4 \int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{u^{8}}{4} - \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{25}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{5 u^{4}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{4}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{u^{9}}{36} - \frac{u^{5}}{2} + \frac{25 u}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - 2 u^{5} + 25 u$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-25\right)\, du = - 25 u$

               El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - u^{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} - \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{9}{4}}}{9} - 20 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx = 25 \int \sqrt[4]{2 x + 5}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt[4]{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{\int \sqrt[4]{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10 \left(2 x + 5\right)^{\frac{5}{4}}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(2 x + 5\right)^{\frac{13}{4}}}{13}+ \mathrm{constant}$