Integral de 1/20(4+2x)^5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(2 x + 4\right)^{5}}{20}\, dx = \frac{\int \left(2 x + 4\right)^{5}\, dx}{20}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 4$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{5}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{12}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 4\right)^{6}}{12}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 x + 4\right)^{5} = 32 x^{5} + 320 x^{4} + 1280 x^{3} + 2560 x^{2} + 2560 x + 1024$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 32 x^{5}\, dx = 32 \int x^{5}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 320 x^{4}\, dx = 320 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $64 x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1280 x^{3}\, dx = 1280 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $320 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2560 x^{2}\, dx = 2560 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2560 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2560 x\, dx = 2560 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $1280 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1024\, dx = 1024 x$

         El resultado es: $\frac{16 x^{6}}{3} + 64 x^{5} + 320 x^{4} + \frac{2560 x^{3}}{3} + 1280 x^{2} + 1024 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(2 x + 4\right)^{6}}{240}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x + 2\right)^{6}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x + 2\right)^{6}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x + 2\right)^{6}}{15}+ \mathrm{constant}$