Integral de x^2(2-x)^3 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x^{2} \left(2 - x\right)^{3} = - x^{5} + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 8 x^{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{5}\right)\, dx = - \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 x^{4}\, dx = 6 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 12 x^{3}\right)\, dx = - 12 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 x^{2}\, dx = 8 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{3}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{x^{6}}{6} + \frac{6 x^{5}}{5} - 3 x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(- 5 x^{3} + 36 x^{2} - 90 x + 80\right)}{30}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(- 5 x^{3} + 36 x^{2} - 90 x + 80\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(- 5 x^{3} + 36 x^{2} - 90 x + 80\right)}{30}+ \mathrm{constant}$