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Resolución de integrales/ cos^2/ cosx// cosx/2-cos^2x

Integral de cosx/2-cos^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1/2                     
   /                      
  |                       
  |  /cos(x)      2   \   
  |  |------ - cos (x)| dx
  |  \  2             /   
  |                       
 /                        
-1/2
∫−1212(−cos⁡2(x)+cos⁡(x)2) dx\int\limits_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx 
Integral(cos(x)/2 - cos(x)^2, (x, -1/2, 1/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫cos⁡(x)2 dx=∫cos⁡(x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

    El resultado es: −x2+sin⁡(x)2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2+sin⁡(x)2−sin⁡(2x)4+constant- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2+sin⁡(x)2−sin⁡(2x)4+constant- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                                  
 | /cos(x)      2   \          sin(x)   x   sin(2*x)
 | |------ - cos (x)| dx = C + ------ - - - --------
 | \  2             /            2      2      4    
 |                                                  
/
∫(−cos⁡2(x)+cos⁡(x)2) dx=C−x2+sin⁡(x)2−sin⁡(2x)4\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = C - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
-0.50-0.40-0.30-0.20-0.100.500.000.100.200.300.401.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/2 - cos(1/2)*sin(1/2) + sin(1/2)
−12−sin⁡(12)cos⁡(12)+sin⁡(12)- \frac{1}{2} - \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
-1/2 - cos(1/2)*sin(1/2) + sin(1/2)
−12−sin⁡(12)cos⁡(12)+sin⁡(12)- \frac{1}{2} - \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
-1/2 - cos(1/2)*sin(1/2) + sin(1/2)
Respuesta numérica [src] 
-0.441309953799745
-0.441309953799745

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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