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Resolución de integrales/ x^2-2/ (x-2)/ (12dx)/((x-2)(x^2-2x-3))

Integral de (12dx)/((x-2)(x^2-2x-3)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |            12             
 |  ---------------------- dx
 |          / 2          \   
 |  (x - 2)*\x  - 2*x - 3/   
 |                           
/                            
0
∫0112(x−2)((x2−2x)−3) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{12}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\, dx 
Integral(12/(((x - 2)*(x^2 - 2*x - 3))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫12(x−2)((x2−2x)−3) dx=12∫1(x−2)((x2−2x)−3) dx\int \frac{12}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\, dx = 12 \int \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−2)((x2−2x)−3)=112(x+1)−13(x−2)+14(x−3)\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)} = \frac{1}{12 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x+1) dx=∫1x+1 dx12\int \frac{1}{12 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{12}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−2)) dx=−∫1x−2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)3- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14(x−3) dx=∫1x−3 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{4}

          1. que u=x−3u = x - 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)4\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x−3)4−log⁡(x−2)3+log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−2)((x2−2x)−3)=1x3−4x2+x+6\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)} = \frac{1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−4x2+x+6=112(x+1)−13(x−2)+14(x−3)\frac{1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} = \frac{1}{12 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x+1) dx=∫1x+1 dx12\int \frac{1}{12 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{12}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−2)) dx=−∫1x−2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)3- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14(x−3) dx=∫1x−3 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{4}

          1. que u=x−3u = x - 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)4\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x−3)4−log⁡(x−2)3+log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−2)((x2−2x)−3)=1x3−4x2+x+6\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)} = \frac{1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−4x2+x+6=112(x+1)−13(x−2)+14(x−3)\frac{1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} = \frac{1}{12 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x+1) dx=∫1x+1 dx12\int \frac{1}{12 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{12}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−2)) dx=−∫1x−2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)3- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14(x−3) dx=∫1x−3 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{4}

          1. que u=x−3u = x - 3.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)4\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x−3)4−log⁡(x−2)3+log⁡(x+1)12\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{12}

    Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x−3)−4log⁡(x−2)+log⁡(x+1)3 \log{\left(x - 3 \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3log⁡(x−3)−4log⁡(x−2)+log⁡(x+1)+constant3 \log{\left(x - 3 \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3log⁡(x−3)−4log⁡(x−2)+log⁡(x+1)+constant3 \log{\left(x - 3 \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 |           12                                                              
 | ---------------------- dx = C - 4*log(-2 + x) + 3*log(-3 + x) + log(1 + x)
 |         / 2          \                                                    
 | (x - 2)*\x  - 2*x - 3/                                                    
 |                                                                           
/
∫12(x−2)((x2−2x)−3) dx=C+3log⁡(x−3)−4log⁡(x−2)+log⁡(x+1)\int \frac{12}{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\, dx = C + 3 \log{\left(x - 3 \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9014
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-3*log(3) + 8*log(2)
−3log⁡(3)+8log⁡(2)- 3 \log{\left(3 \right)} + 8 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-3*log(3) + 8*log(2)
−3log⁡(3)+8log⁡(2)- 3 \log{\left(3 \right)} + 8 \log{\left(2 \right)} 
-3*log(3) + 8*log(2)
Respuesta numérica [src] 
2.24934057847523
2.24934057847523

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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