Integral de 3x+2/x(x+1)^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2}{x} \left(x + 1\right)^{3} = 2 x^{2} + 6 x + 6 + \frac{2}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 6\, dx = 6 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 6 x + 2 \log{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2}{x} \left(x + 1\right)^{3} = \frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2}{x}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2}{x} = 2 x^{2} + 6 x + 6 + \frac{2}{x}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 6\, dx = 6 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 6 x + 2 \log{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{9 x^{2}}{2} + 6 x + 2 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{9 x^{2}}{2} + 6 x + 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{9 x^{2}}{2} + 6 x + 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$