Integral de x^2*exp(-3*x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = - 3 x$.

      Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{3}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = - 3 x$.

      Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 e^{- 3 x}}{9}\, dx = \frac{2 \int e^{- 3 x}\, dx}{9}$

   1. que $u = - 3 x$.

      Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{- 3 x}}{27}$

4. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{27}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{27}+ \mathrm{constant}$