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Resolución de integrales/ exp(t*(-5))*cos(s*t)*dt/pi

Integral de exp(t*(-5))*cos(s*t)*dt/pi dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                    
  /                    
 |                     
 |   t*(-5)            
 |  e      *cos(s*t)   
 |  ---------------- dt
 |         pi          
 |                     
/                      
0
∫0∞e(−5)tcos⁡(st)π dt\int\limits_{0}^{\infty} \frac{e^{\left(-5\right) t} \cos{\left(s t \right)}}{\pi}\, dt 
Integral((exp(t*(-5))*cos(s*t))/pi, (t, 0, oo))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫e(−5)tcos⁡(st)π dt=∫e(−5)tcos⁡(st) dtπ\int \frac{e^{\left(-5\right) t} \cos{\left(s t \right)}}{\pi}\, dt = \frac{\int e^{\left(-5\right) t} \cos{\left(s t \right)}\, dt}{\pi}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(t)=cos⁡(st)u{\left(t \right)} = \cos{\left(s t \right)} y que dv⁡(t)=e(−5)t\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{\left(-5\right) t}.

      Entonces du⁡(t)=−ssin⁡(st)\operatorname{du}{\left(t \right)} = - s \sin{\left(s t \right)}.

      Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

      1. que u=−5tu = - 5 t.

        Luego que du=−5dtdu = - 5 dt y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

        ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−5t5- \frac{e^{- 5 t}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫se−5tsin⁡(st)5 dt=s∫e−5tsin⁡(st) dt5\int \frac{s e^{- 5 t} \sin{\left(s t \right)}}{5}\, dt = \frac{s \int e^{- 5 t} \sin{\left(s t \right)}\, dt}{5}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(t)=sin⁡(st)u{\left(t \right)} = \sin{\left(s t \right)} y que dv⁡(t)=e−5t\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{- 5 t}.

        Entonces du⁡(t)=scos⁡(st)\operatorname{du}{\left(t \right)} = s \cos{\left(s t \right)}.

        Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

        1. que u=−5tu = - 5 t.

          Luego que du=−5dtdu = - 5 dt y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

          ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−5t5- \frac{e^{- 5 t}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−se−5tcos⁡(st)5) dt=−s∫e−5tcos⁡(st) dt5\int \left(- \frac{s e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}}{5}\right)\, dt = - \frac{s \int e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}\, dt}{5}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ssin⁡(st)s2e5t+25e5t−5cos⁡(st)s2e5t+25e5t\frac{s \sin{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}} - \frac{5 \cos{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}}

        Por lo tanto, el resultado es: −s(ssin⁡(st)s2e5t+25e5t−5cos⁡(st)s2e5t+25e5t)5- \frac{s \left(\frac{s \sin{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}} - \frac{5 \cos{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}}\right)}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: s(s(ssin⁡(st)s2e5t+25e5t−5cos⁡(st)s2e5t+25e5t)5−e−5tsin⁡(st)5)5\frac{s \left(\frac{s \left(\frac{s \sin{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}} - \frac{5 \cos{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}}\right)}{5} - \frac{e^{- 5 t} \sin{\left(s t \right)}}{5}\right)}{5}

    Por lo tanto, el resultado es: −s(s(ssin⁡(st)s2e5t+25e5t−5cos⁡(st)s2e5t+25e5t)5−e−5tsin⁡(st)5)5−e−5tcos⁡(st)5π\frac{- \frac{s \left(\frac{s \left(\frac{s \sin{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}} - \frac{5 \cos{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}}\right)}{5} - \frac{e^{- 5 t} \sin{\left(s t \right)}}{5}\right)}{5} - \frac{e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}}{5}}{\pi}

  2. Ahora simplificar:

    (ssin⁡(st)−5cos⁡(st))e−5tπ(s2+25)\frac{\left(s \sin{\left(s t \right)} - 5 \cos{\left(s t \right)}\right) e^{- 5 t}}{\pi \left(s^{2} + 25\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (ssin⁡(st)−5cos⁡(st))e−5tπ(s2+25)+constant\frac{\left(s \sin{\left(s t \right)} - 5 \cos{\left(s t \right)}\right) e^{- 5 t}}{\pi \left(s^{2} + 25\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(ssin⁡(st)−5cos⁡(st))e−5tπ(s2+25)+constant\frac{\left(s \sin{\left(s t \right)} - 5 \cos{\left(s t \right)}\right) e^{- 5 t}}{\pi \left(s^{2} + 25\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                 /                     /      5*cos(s*t)          s*sin(s*t)   \\                 
                                 |                   s*|- ----------------- + -----------------||                 
                                 |   -5*t              |      5*t    2  5*t       5*t    2  5*t||                 
                                 |  e    *sin(s*t)     \  25*e    + s *e      25*e    + s *e   /|                 
  /                            s*|- -------------- + -------------------------------------------|             -5*t
 |                               \        5                               5                     /   cos(s*t)*e    
 |  t*(-5)                   - ------------------------------------------------------------------ - --------------
 | e      *cos(s*t)                                            5                                          5       
 | ---------------- dt = C + -------------------------------------------------------------------------------------
 |        pi                                                           pi                                         
 |                                                                                                                
/
∫e(−5)tcos⁡(st)π dt=C+−s(s(ssin⁡(st)s2e5t+25e5t−5cos⁡(st)s2e5t+25e5t)5−e−5tsin⁡(st)5)5−e−5tcos⁡(st)5π\int \frac{e^{\left(-5\right) t} \cos{\left(s t \right)}}{\pi}\, dt = C + \frac{- \frac{s \left(\frac{s \left(\frac{s \sin{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}} - \frac{5 \cos{\left(s t \right)}}{s^{2} e^{5 t} + 25 e^{5 t}}\right)}{5} - \frac{e^{- 5 t} \sin{\left(s t \right)}}{5}\right)}{5} - \frac{e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}}{5}}{\pi}
Simplificar
Respuesta [src] 
/          1                              
|    -------------      for 2*|arg(s)| = 0
|         /     2\                        
|         |    s |                        
|    5*pi*|1 + --|                        
|         \    25/                        
|                                         
| oo                                      
<  /                                      
| |                                       
| |            -5*t                       
| |  cos(s*t)*e                           
| |  -------------- dt      otherwise     
| |        pi                             
| |                                       
|/                                        
\0
{15π(s225+1)for 2∣arg⁡(s)∣=0∫0∞e−5tcos⁡(st)π dtotherwise\begin{cases} \frac{1}{5 \pi \left(\frac{s^{2}}{25} + 1\right)} & \text{for}\: 2 \left|{\arg{\left(s \right)}}\right| = 0 \\\int\limits_{0}^{\infty} \frac{e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}}{\pi}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/          1                              
|    -------------      for 2*|arg(s)| = 0
|         /     2\                        
|         |    s |                        
|    5*pi*|1 + --|                        
|         \    25/                        
|                                         
| oo                                      
<  /                                      
| |                                       
| |            -5*t                       
| |  cos(s*t)*e                           
| |  -------------- dt      otherwise     
| |        pi                             
| |                                       
|/                                        
\0
{15π(s225+1)for 2∣arg⁡(s)∣=0∫0∞e−5tcos⁡(st)π dtotherwise\begin{cases} \frac{1}{5 \pi \left(\frac{s^{2}}{25} + 1\right)} & \text{for}\: 2 \left|{\arg{\left(s \right)}}\right| = 0 \\\int\limits_{0}^{\infty} \frac{e^{- 5 t} \cos{\left(s t \right)}}{\pi}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((1/(5*pi*(1 + s^2/25)), 2*Abs(arg(s)) = 0), (Integral(cos(s*t)*exp(-5*t)/pi, (t, 0, oo)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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