Integral de (3x-2x^(4/5))^2/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{4}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{5 \sqrt[5]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{- 60 u^{\frac{9}{4}} + 45 u^{\frac{5}{2}} + 20 u^{2}}{4 u^{\frac{3}{8}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 60 u^{\frac{9}{4}} + 45 u^{\frac{5}{2}} + 20 u^{2}}{u^{\frac{3}{8}}}\, du = \frac{\int \frac{- 60 u^{\frac{9}{4}} + 45 u^{\frac{5}{2}} + 20 u^{2}}{u^{\frac{3}{8}}}\, du}{4}$

         1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{3}{8}}}$.

            Luego que $du = - \frac{3 du}{8 u^{\frac{11}{8}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{- 160 u^{\frac{38}{3}} - 360 u^{\frac{34}{3}} + 480 u^{12}}{3 u^{\frac{62}{3}}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{- 160 u^{\frac{38}{3}} - 360 u^{\frac{34}{3}} + 480 u^{12}}{u^{\frac{62}{3}}}\, du = \frac{\int \frac{- 160 u^{\frac{38}{3}} - 360 u^{\frac{34}{3}} + 480 u^{12}}{u^{\frac{62}{3}}}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{- 160 u^{\frac{38}{3}} - 360 u^{\frac{34}{3}} + 480 u^{12}}{u^{\frac{62}{3}}} = - \frac{160}{u^{8}} + \frac{480}{u^{\frac{26}{3}}} - \frac{360}{u^{\frac{28}{3}}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{160}{u^{8}}\right)\, du = - 160 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160}{7 u^{7}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{480}{u^{\frac{26}{3}}}\, du = 480 \int \frac{1}{u^{\frac{26}{3}}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{\frac{26}{3}}}\, du = - \frac{3}{23 u^{\frac{23}{3}}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1440}{23 u^{\frac{23}{3}}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{360}{u^{\frac{28}{3}}}\right)\, du = - 360 \int \frac{1}{u^{\frac{28}{3}}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{\frac{28}{3}}}\, du = - \frac{3}{25 u^{\frac{25}{3}}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{216}{5 u^{\frac{25}{3}}}$

                  El resultado es: $\frac{160}{7 u^{7}} - \frac{1440}{23 u^{\frac{23}{3}}} + \frac{216}{5 u^{\frac{25}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160}{21 u^{7}} - \frac{480}{23 u^{\frac{23}{3}}} + \frac{72}{5 u^{\frac{25}{3}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{72 u^{\frac{25}{8}}}{5} - \frac{480 u^{\frac{23}{8}}}{23} + \frac{160 u^{\frac{21}{8}}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 u^{\frac{25}{8}}}{5} - \frac{120 u^{\frac{23}{8}}}{23} + \frac{40 u^{\frac{21}{8}}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23} + \frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21} + \frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 2 x^{\frac{4}{5}} + 3 x\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{- 12 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{8}{5}} + 9 x^{2}}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{8 u^{\frac{4}{5}} - 24 u^{\frac{2}{5}} + 18}{u^{6}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 u^{\frac{4}{5}} - 24 u^{\frac{2}{5}} + 18}{u^{6}}\, du = - \int \frac{8 u^{\frac{4}{5}} - 24 u^{\frac{2}{5}} + 18}{u^{6}}\, du$

         1. que $u = u^{\frac{2}{5}}$.

            Luego que $du = \frac{2 du}{5 u^{\frac{3}{5}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{20 u^{2} - 60 u + 45}{u^{\frac{27}{2}}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{20 u^{2} - 60 u + 45}{u^{\frac{27}{2}}} = \frac{20}{u^{\frac{23}{2}}} - \frac{60}{u^{\frac{25}{2}}} + \frac{45}{u^{\frac{27}{2}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{20}{u^{\frac{23}{2}}}\, du = 20 \int \frac{1}{u^{\frac{23}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{23}{2}}}\, du = - \frac{2}{21 u^{\frac{21}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{40}{21 u^{\frac{21}{2}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{60}{u^{\frac{25}{2}}}\right)\, du = - 60 \int \frac{1}{u^{\frac{25}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{25}{2}}}\, du = - \frac{2}{23 u^{\frac{23}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{120}{23 u^{\frac{23}{2}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{45}{u^{\frac{27}{2}}}\, du = 45 \int \frac{1}{u^{\frac{27}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{27}{2}}}\, du = - \frac{2}{25 u^{\frac{25}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18}{5 u^{\frac{25}{2}}}$

               El resultado es: $- \frac{40}{21 u^{\frac{21}{2}}} + \frac{120}{23 u^{\frac{23}{2}}} - \frac{18}{5 u^{\frac{25}{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{18}{5 u^{5}} - \frac{40}{21 u^{\frac{21}{5}}} + \frac{120}{23 u^{\frac{23}{5}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18}{5 u^{5}} + \frac{40}{21 u^{\frac{21}{5}}} - \frac{120}{23 u^{\frac{23}{5}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23} + \frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21} + \frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 2 x^{\frac{4}{5}} + 3 x\right)^{2}}{\sqrt{x}} = - 12 x^{\frac{13}{10}} + 4 x^{\frac{11}{10}} + 9 x^{\frac{3}{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x^{\frac{13}{10}}\right)\, dx = - 12 \int x^{\frac{13}{10}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{13}{10}}\, dx = \frac{10 x^{\frac{23}{10}}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{\frac{11}{10}}\, dx = 4 \int x^{\frac{11}{10}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{10}}\, dx = \frac{10 x^{\frac{21}{10}}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 9 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23} + \frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21} + \frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23} + \frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21} + \frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{120 x^{\frac{23}{10}}}{23} + \frac{40 x^{\frac{21}{10}}}{21} + \frac{18 x^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$