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Resolución de integrales/ (1+x)/ cos(8x)/ 5cos(8x)*(1+x)

Integral de 5cos(8x)*(1+x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  5*cos(8*x)*(1 + x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(x+1)5cos⁡(8x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right) 5 \cos{\left(8 x \right)}\, dx 
Integral((5*cos(8*x))*(1 + x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)5cos⁡(8x)=5xcos⁡(8x)+5cos⁡(8x)\left(x + 1\right) 5 \cos{\left(8 x \right)} = 5 x \cos{\left(8 x \right)} + 5 \cos{\left(8 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xcos⁡(8x) dx=5∫xcos⁡(8x) dx\int 5 x \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 5 \int x \cos{\left(8 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(8x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=8xu = 8 x.

            Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(8x)8 dx=∫sin⁡(8x) dx8\int \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

          1. que u=8xu = 8 x.

            Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫sin⁡(u)8 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du8\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)8- \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(8x)8- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(8x)64- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: 5xsin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(8x) dx=5∫cos⁡(8x) dx\int 5 \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(8 x \right)}\, dx

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(8x)8\frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8}

      El resultado es: 5xsin⁡(8x)8+5sin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)5cos⁡(8x)=5xcos⁡(8x)+5cos⁡(8x)\left(x + 1\right) 5 \cos{\left(8 x \right)} = 5 x \cos{\left(8 x \right)} + 5 \cos{\left(8 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xcos⁡(8x) dx=5∫xcos⁡(8x) dx\int 5 x \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 5 \int x \cos{\left(8 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(8x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=8xu = 8 x.

            Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(8x)8 dx=∫sin⁡(8x) dx8\int \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

          1. que u=8xu = 8 x.

            Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫sin⁡(u)8 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du8\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)8- \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(8x)8- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(8x)64- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: 5xsin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(8x) dx=5∫cos⁡(8x) dx\int 5 \cos{\left(8 x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(8 x \right)}\, dx

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(8x)8\frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8}

      El resultado es: 5xsin⁡(8x)8+5sin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}

  2. Añadimos la constante de integración:

    5xsin⁡(8x)8+5sin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64+constant\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5xsin⁡(8x)8+5sin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64+constant\frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                             5*sin(8*x)   5*cos(8*x)   5*x*sin(8*x)
 | 5*cos(8*x)*(1 + x) dx = C + ---------- + ---------- + ------------
 |                                 8            64            8      
/
∫(x+1)5cos⁡(8x) dx=C+5xsin⁡(8x)8+5sin⁡(8x)8+5cos⁡(8x)64\int \left(x + 1\right) 5 \cos{\left(8 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{5 \cos{\left(8 x \right)}}{64}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5    5*sin(8)   5*cos(8)
- -- + -------- + --------
  64      4          64
−564+5cos⁡(8)64+5sin⁡(8)4- \frac{5}{64} + \frac{5 \cos{\left(8 \right)}}{64} + \frac{5 \sin{\left(8 \right)}}{4} 
=
= 
  5    5*sin(8)   5*cos(8)
- -- + -------- + --------
  64      4          64
−564+5cos⁡(8)64+5sin⁡(8)4- \frac{5}{64} + \frac{5 \cos{\left(8 \right)}}{64} + \frac{5 \sin{\left(8 \right)}}{4} 
-5/64 + 5*sin(8)/4 + 5*cos(8)/64
Respuesta numérica [src] 
1.14720561813793
1.14720561813793

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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