Integral de 1/x*(2lnx+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 u - 1\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-1\right)\, du = - u$

               El resultado es: $- u^{2} - u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)}^{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$