Integral de 2lnx+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$