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Resolución de integrales/ (2+Cosx)/(2-Sinx)

Integral de (2+Cosx)/(2-Sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  2 + cos(x)   
 |  ---------- dx
 |  2 - sin(x)   
 |               
/                
0
∫01cos⁡(x)+22−sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{2 - \sin{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((2 + cos(x))/(2 - sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(x)+22−sin⁡(x)=−cos⁡(x)+2sin⁡(x)−2\frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{2 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{\sin{\left(x \right)} - 2}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(x)+2sin⁡(x)−2) dx=−∫cos⁡(x)+2sin⁡(x)−2 dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{\sin{\left(x \right)} - 2}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{\sin{\left(x \right)} - 2}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡(x)+2sin⁡(x)−2=cos⁡(x)sin⁡(x)−2+2sin⁡(x)−2\frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{\sin{\left(x \right)} - 2} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2} + \frac{2}{\sin{\left(x \right)} - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=sin⁡(x)−2u = \sin{\left(x \right)} - 2.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x)−2)\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)−2 dx=2∫1sin⁡(x)−2 dx\int \frac{2}{\sin{\left(x \right)} - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 2}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            −23(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3- \frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3- \frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}

        El resultado es: −43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3+log⁡(sin⁡(x)−2)- \frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3−log⁡(sin⁡(x)−2)\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(x)+22−sin⁡(x)=cos⁡(x)2−sin⁡(x)+22−sin⁡(x)\frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{2 - \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{2}{2 - \sin{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=2−sin⁡(x)u = 2 - \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cos⁡(x)dxdu = - \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(2−sin⁡(x))- \log{\left(2 - \sin{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22−sin⁡(x) dx=2∫12−sin⁡(x) dx\int \frac{2}{2 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 - \sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          12−sin⁡(x)=−1sin⁡(x)−2\frac{1}{2 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 2}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1sin⁡(x)−2) dx=−∫1sin⁡(x)−2 dx\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 2}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            −23(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3- \frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 23(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}

      El resultado es: 43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3−log⁡(2−sin⁡(x))\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(2 - \sin{\left(x \right)} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    43(atan⁡(3(2tan⁡(x2)−1)3)+π⌊x2π−12⌋)3−log⁡(sin⁡(x)−2)\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    43(atan⁡(3(2tan⁡(x2)−1)3)+π⌊x2π−12⌋)3−log⁡(sin⁡(x)−2)+constant\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

43(atan⁡(3(2tan⁡(x2)−1)3)+π⌊x2π−12⌋)3−log⁡(sin⁡(x)−2)+constant\frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                  /        /x   pi\       /              ___    /x\\\
                                                  |        |- - --|       |    ___   2*\/ 3 *tan|-|||
  /                                           ___ |        |2   2 |       |  \/ 3               \2/||
 |                                        4*\/ 3 *|pi*floor|------| + atan|- ----- + --------------||
 | 2 + cos(x)                                     \        \  pi  /       \    3           3       //
 | ---------- dx = C - log(-2 + sin(x)) + -----------------------------------------------------------
 | 2 - sin(x)                                                          3                             
 |                                                                                                   
/
∫cos⁡(x)+22−sin⁡(x) dx=C+43(atan⁡(23tan⁡(x2)3−33)+π⌊x2−π2π⌋)3−log⁡(sin⁡(x)−2)\int \frac{\cos{\left(x \right)} + 2}{2 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{4 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                              /          /  ___       ___         \\                                            
                                          ___ |          |\/ 3    2*\/ 3 *tan(1/2)||                                            
                                      4*\/ 3 *|-pi - atan|----- - ----------------||           ___                              
     /                      2     \           \          \  3            3        //   14*pi*\/ 3                /       2     \
- log\4 - 4*tan(1/2) + 4*tan (1/2)/ + ---------------------------------------------- + ----------- + log(4) + log\1 + tan (1/2)/
                                                            3                               9
43(−π−atan⁡(−23tan⁡(12)3+33))3−log⁡(−4tan⁡(12)+4tan⁡2(12)+4)+log⁡(tan⁡2(12)+1)+log⁡(4)+143π9\frac{4 \sqrt{3} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{3} - \log{\left(- 4 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 \right)} + \log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} + \log{\left(4 \right)} + \frac{14 \sqrt{3} \pi}{9} 
=
= 
                                              /          /  ___       ___         \\                                            
                                          ___ |          |\/ 3    2*\/ 3 *tan(1/2)||                                            
                                      4*\/ 3 *|-pi - atan|----- - ----------------||           ___                              
     /                      2     \           \          \  3            3        //   14*pi*\/ 3                /       2     \
- log\4 - 4*tan(1/2) + 4*tan (1/2)/ + ---------------------------------------------- + ----------- + log(4) + log\1 + tan (1/2)/
                                                            3                               9
43(−π−atan⁡(−23tan⁡(12)3+33))3−log⁡(−4tan⁡(12)+4tan⁡2(12)+4)+log⁡(tan⁡2(12)+1)+log⁡(4)+143π9\frac{4 \sqrt{3} \left(- \pi - \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{3} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{3} - \log{\left(- 4 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 \right)} + \log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} + \log{\left(4 \right)} + \frac{14 \sqrt{3} \pi}{9} 
-log(4 - 4*tan(1/2) + 4*tan(1/2)^2) + 4*sqrt(3)*(-pi - atan(sqrt(3)/3 - 2*sqrt(3)*tan(1/2)/3))/3 + 14*pi*sqrt(3)/9 + log(4) + log(1 + tan(1/2)^2)
Respuesta numérica [src] 
1.87855150230211
1.87855150230211

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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