Integral de (x-5)^2*(x+1)/5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(x + 1\right)}{5}\, dx = \frac{\int \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 1\right)\, dx}{5}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 5\right)^{2} \left(x + 1\right) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9 x^{2}\right)\, dx = - 9 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 25\, dx = 25 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} + 25 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{20} - \frac{3 x^{3}}{5} + \frac{3 x^{2}}{2} + 5 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 100\right)}{20}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 100\right)}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 100\right)}{20}+ \mathrm{constant}$