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Resolución de integrales/ e^(-x)/ e^(-4x)/ 1/((e^(-x))+3e^(-4x))

Integral de 1/((e^(-x))+3e^(-4x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |   -x      -4*x   
 |  E   + 3*E       
 |                  
/                   
0
∫011e−x+3e−4x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{e^{- x} + 3 e^{- 4 x}}\, dx 
Integral(1/(E^(-x) + 3*E^(-4*x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    1e−x+3e−4x=e4xe3x+3\frac{1}{e^{- x} + 3 e^{- 4 x}} = \frac{e^{4 x}}{e^{3 x} + 3}

  2. que u=exu = e^{x}.

    Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

    ∫u3u3+3 du\int \frac{u^{3}}{u^{3} + 3}\, du

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      u3u3+3=1−3u3+3\frac{u^{3}}{u^{3} + 3} = 1 - \frac{3}{u^{3} + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 du=u\int 1\, du = u

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3u3+3) du=−3∫1u3+3 du\int \left(- \frac{3}{u^{3} + 3}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{3} + 3}\, du

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          33log⁡(u+33)9−33log⁡(u2−33u+323)18+356atan⁡(236u3−33)9\frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u^{2} - \sqrt[3]{3} u + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} u}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −33log⁡(u+33)3+33log⁡(u2−33u+323)6−356atan⁡(236u3−33)3- \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u^{2} - \sqrt[3]{3} u + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} u}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

      El resultado es: u−33log⁡(u+33)3+33log⁡(u2−33u+323)6−356atan⁡(236u3−33)3u - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(u^{2} - \sqrt[3]{3} u + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} u}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

    Si ahora sustituir uu más en:

    ex−33log⁡(ex+33)3+33log⁡(e2x−33ex+323)6−356atan⁡(236ex3−33)3e^{x} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{x} + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{2 x} - \sqrt[3]{3} e^{x} + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} e^{x}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    ex−33log⁡(ex+33)3+33log⁡(e2x−33ex+323)6−356atan⁡(236ex3−33)3+constante^{x} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{x} + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{2 x} - \sqrt[3]{3} e^{x} + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} e^{x}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

ex−33log⁡(ex+33)3+33log⁡(e2x−33ex+323)6−356atan⁡(236ex3−33)3+constante^{x} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{x} + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{2 x} - \sqrt[3]{3} e^{x} + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} e^{x}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                           /    ___     6 ___  x\                                         
  /                                                5/6     |  \/ 3    2*\/ 3 *e |                                         
 |                        3 ___    /3 ___    x\   3   *atan|- ----- + ----------|   3 ___    / 2/3   3 ___  x    2*x\     
 |       1                \/ 3 *log\\/ 3  + e /            \    3         3     /   \/ 3 *log\3    - \/ 3 *e  + e   /    x
 | ------------- dx = C - --------------------- - ------------------------------- + --------------------------------- + e 
 |  -x      -4*x                    3                            3                                  6                     
 | E   + 3*E                                                                                                              
 |                                                                                                                        
/
∫1e−x+3e−4x dx=C+ex−33log⁡(ex+33)3+33log⁡(e2x−33ex+323)6−356atan⁡(236ex3−33)3\int \frac{1}{e^{- x} + 3 e^{- 4 x}}\, dx = C + e^{x} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{x} + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(e^{2 x} - \sqrt[3]{3} e^{x} + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} e^{x}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                /   3                /       2\\          /   3                /   2    -1\\
-1 + E - RootSum\9*z  + 1, i -> i*log\1 + 3*i // + RootSum\9*z  + 1, i -> i*log\3*i  + e  //
−RootSum⁡(9z3+1,(i↦ilog⁡(3i2+1)))+RootSum⁡(9z3+1,(i↦ilog⁡(3i2+e−1)))−1+e- \operatorname{RootSum} {\left(9 z^{3} + 1, \left( i \mapsto i \log{\left(3 i^{2} + 1 \right)} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(9 z^{3} + 1, \left( i \mapsto i \log{\left(3 i^{2} + e^{-1} \right)} \right)\right)} - 1 + e 
=
= 
                /   3                /       2\\          /   3                /   2    -1\\
-1 + E - RootSum\9*z  + 1, i -> i*log\1 + 3*i // + RootSum\9*z  + 1, i -> i*log\3*i  + e  //
−RootSum⁡(9z3+1,(i↦ilog⁡(3i2+1)))+RootSum⁡(9z3+1,(i↦ilog⁡(3i2+e−1)))−1+e- \operatorname{RootSum} {\left(9 z^{3} + 1, \left( i \mapsto i \log{\left(3 i^{2} + 1 \right)} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(9 z^{3} + 1, \left( i \mapsto i \log{\left(3 i^{2} + e^{-1} \right)} \right)\right)} - 1 + e 
-1 + E - RootSum(9*_z^3 + 1, Lambda(_i, _i*log(1 + 3*_i^2))) + RootSum(9*_z^3 + 1, Lambda(_i, _i*log(3*_i^2 + exp(-1))))
Respuesta numérica [src] 
1.09579549698444
1.09579549698444

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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