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Resolución de integrales/ (1/3)/ (x)^2/ log(x)/ log(x)^2/x^(1/3)

Integral de log(x)^2/x^(1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  log (x)   
 |  ------- dx
 |   3 ___    
 |   \/ x     
 |            
/             
0
∫01log⁡(x)2x3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}\, dx 
Integral(log(x)^2/x^(1/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u2e2u3 du\int u^{2} e^{\frac{2 u}{3}}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u3\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{2 u}{3}}.

      Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2u3u = \frac{2 u}{3}.

        Luego que du=2du3du = \frac{2 du}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

        ∫3eu2 du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3e2u32\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=3uu{\left(u \right)} = 3 u y que dv⁡(u)=e2u3\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{2 u}{3}}.

      Entonces du⁡(u)=3\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2u3u = \frac{2 u}{3}.

        Luego que du=2du3du = \frac{2 du}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

        ∫3eu2 du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3e2u32\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫9e2u32 du=9∫e2u3 du2\int \frac{9 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}\, du = \frac{9 \int e^{\frac{2 u}{3}}\, du}{2}

      1. que u=2u3u = \frac{2 u}{3}.

        Luego que du=2du3du = \frac{2 du}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

        ∫3eu2 du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3e2u32\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 27e2u34\frac{27 e^{\frac{2 u}{3}}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    3x23log⁡(x)22−9x23log⁡(x)2+27x234\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 x^{\frac{2}{3}}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    3x23(2log⁡(x)2−6log⁡(x)+9)4\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 9\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x23(2log⁡(x)2−6log⁡(x)+9)4+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 9\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x23(2log⁡(x)2−6log⁡(x)+9)4+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 9\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                                          
 |    2                 2/3      2/3             2/3    2   
 | log (x)          27*x      9*x   *log(x)   3*x   *log (x)
 | ------- dx = C + ------- - ------------- + --------------
 |  3 ___              4            2               2       
 |  \/ x                                                    
 |                                                          
/
∫log⁡(x)2x3 dx=C+3x23log⁡(x)22−9x23log⁡(x)2+27x234\int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt[3]{x}}\, dx = C + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 x^{\frac{2}{3}}}{4}
Simplificar
Respuesta [src] 
27/4
274\frac{27}{4} 
=
= 
27/4
274\frac{27}{4} 
27/4
Respuesta numérica [src] 
6.74999999934344
6.74999999934344

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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