Integral de y^2(2-y^3)^2dy dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - y^{3}$.

      Luego que $du = - 3 y^{2} dy$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(2 - y^{3}\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $y^{2} \left(2 - y^{3}\right)^{2} = y^{8} - 4 y^{5} + 4 y^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{8}\, dy = \frac{y^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 y^{5}\right)\, dy = - 4 \int y^{5}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{5}\, dy = \frac{y^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 y^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 y^{2}\, dy = 4 \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 y^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{y^{9}}{9} - \frac{2 y^{6}}{3} + \frac{4 y^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(y^{3} - 2\right)^{3}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(y^{3} - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(y^{3} - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$