Integral de 1/y*(1+ln(y)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{y}$.

      Luego que $du = - \frac{dy}{y^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(y \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(y \right)} + 1}{y} = \frac{\log{\left(y \right)}}{y} + \frac{1}{y}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{y}$.

         Luego que $du = - \frac{dy}{y^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2}$

      1. Integral $\frac{1}{y}$ es $\log{\left(y \right)}$.

      El resultado es: $\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} + \log{\left(y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(y \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(y \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$