Sr Examen

Integral de 3x*lnxdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1              
  /              
 |               
 |  3*x*log(x) dx
 |               
/                
0                
013xlog(x)dx\int\limits_{0}^{1} 3 x \log{\left(x \right)}\, dx
Integral((3*x)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos 3du3 du:

      3ue2udu\int 3 u e^{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ue2udu=3ue2udu\int u e^{2 u}\, du = 3 \int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3ue2u23e2u4\frac{3 u e^{2 u}}{2} - \frac{3 e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x2log(x)23x24\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xdx=3xdx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      3x2dx=3xdx2\int \frac{3 x}{2}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x24\frac{3 x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    3x2(2log(x)1)4\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x2(2log(x)1)4+constant\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3x2(2log(x)1)4+constant\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                       2      2       
 |                     3*x    3*x *log(x)
 | 3*x*log(x) dx = C - ---- + -----------
 |                      4          2     
/                                        
3xlog(x)dx=C+3x2log(x)23x24\int 3 x \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Respuesta [src]
-3/4
34- \frac{3}{4}
=
=
-3/4
34- \frac{3}{4}
-3/4
Respuesta numérica [src]
-0.75
-0.75

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.