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Resolución de integrales/ x^2+2/ (4-x)/ (4-x)/(x^2+2x-1)^1/2

Integral de (4-x)/(x^2+2x-1)^1/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                     
  /                     
 |                      
 |        4 - x         
 |  ----------------- dx
 |     ______________   
 |    /  2              
 |  \/  x  + 2*x - 1    
 |                      
/                       
2
∫244−x(x2+2x)−1 dx\int\limits_{2}^{4} \frac{4 - x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx 
Integral((4 - x)/sqrt(x^2 + 2*x - 1), (x, 2, 4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4−x(x2+2x)−1=−x−4x2+2x−1\frac{4 - x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}} = - \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x−4x2+2x−1) dx=−∫x−4x2+2x−1 dx\int \left(- \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−4x2+2x−1=xx2+2x−1−4x2+2x−1\frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}} - \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}

      2. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫xx2+2x−1 dx\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4x2+2x−1) dx=−4∫1x2+2x−1 dx\int \left(- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            ∫1x2+2x−1 dx\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

          Por lo tanto, el resultado es: −4∫1x2+2x−1 dx- 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

        El resultado es: ∫xx2+2x−1 dx−4∫1x2+2x−1 dx\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫xx2+2x−1 dx+4∫1x2+2x−1 dx- \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4−x(x2+2x)−1=−x(x2+2x)−1+4(x2+2x)−1\frac{4 - x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}} = - \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}} + \frac{4}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x(x2+2x)−1) dx=−∫x(x2+2x)−1 dx\int \left(- \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫xx2+2x−1 dx\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −∫xx2+2x−1 dx- \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4(x2+2x)−1 dx=4∫1(x2+2x)−1 dx\int \frac{4}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫1(x2+2x)−1 dx\int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: 4∫1(x2+2x)−1 dx4 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx

      El resultado es: −∫xx2+2x−1 dx+4∫1(x2+2x)−1 dx- \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    −∫xx2+2x−1 dx+4∫1x2+2x−1 dx+constant- \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−∫xx2+2x−1 dx+4∫1x2+2x−1 dx+constant- \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             /                            /                     
 |                             |                            |                      
 |       4 - x                 |         x                  |         1            
 | ----------------- dx = C -  | ------------------ dx + 4* | ------------------ dx
 |    ______________           |    _______________         |    _______________   
 |   /  2                      |   /       2                |   /       2          
 | \/  x  + 2*x - 1            | \/  -1 + x  + 2*x          | \/  -1 + x  + 2*x    
 |                             |                            |                      
/                             /                            /
∫4−x(x2+2x)−1 dx=C−∫xx2+2x−1 dx+4∫1x2+2x−1 dx\int \frac{4 - x}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}}\, dx = C - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
    4                           4                      
    /                           /                      
   |                           |                       
   |         -4                |          x            
-  |  ------------------ dx -  |  ------------------ dx
   |     _______________       |     _______________   
   |    /       2              |    /       2          
   |  \/  -1 + x  + 2*x        |  \/  -1 + x  + 2*x    
   |                           |                       
  /                           /                        
  2                           2
−∫24xx2+2x−1 dx−∫24(−4x2+2x−1) dx- \int\limits_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx - \int\limits_{2}^{4} \left(- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\right)\, dx 
=
= 
    4                           4                      
    /                           /                      
   |                           |                       
   |         -4                |          x            
-  |  ------------------ dx -  |  ------------------ dx
   |     _______________       |     _______________   
   |    /       2              |    /       2          
   |  \/  -1 + x  + 2*x        |  \/  -1 + x  + 2*x    
   |                           |                       
  /                           /                        
  2                           2
−∫24xx2+2x−1 dx−∫24(−4x2+2x−1) dx- \int\limits_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\, dx - \int\limits_{2}^{4} \left(- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}}\right)\, dx 
-Integral(-4/sqrt(-1 + x^2 + 2*x), (x, 2, 4)) - Integral(x/sqrt(-1 + x^2 + 2*x), (x, 2, 4))
Respuesta numérica [src] 
0.605188080185671
0.605188080185671

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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