Integral de log(1+x)*2/(1+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 \log{\left(x + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{x + 1}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x + 1 \right)}^{2}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x + 1}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 2 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x + 1 \right)}^{2}$

   Método #3

   1. que $u = x + 1$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \log{\left(u \right)}}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du = 2 \int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u \right)}^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x + 1 \right)}^{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x + 1 \right)}^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x + 1 \right)}^{2}+ \mathrm{constant}$