Integral de log(x+1,7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + \frac{17}{10}$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x + \left(x + \frac{17}{10}\right) \log{\left(x + \frac{17}{10} \right)} - \frac{17}{10}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + \frac{17}{10} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + \frac{17}{10}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x + \frac{17}{10}} = 1 - \frac{17}{10 x + 17}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{17}{10 x + 17}\right)\, dx = - 17 \int \frac{1}{10 x + 17}\, dx$

            1. que $u = 10 x + 17$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{1}{10 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{10}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(10 x + 17 \right)}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{17 \log{\left(10 x + 17 \right)}}{10}$

         El resultado es: $x - \frac{17 \log{\left(10 x + 17 \right)}}{10}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x + \frac{17}{10}} = \frac{10 x}{10 x + 17}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 x}{10 x + 17}\, dx = 10 \int \frac{x}{10 x + 17}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{10 x + 17} = \frac{1}{10} - \frac{17}{10 \left(10 x + 17\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{10}\, dx = \frac{x}{10}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{17}{10 \left(10 x + 17\right)}\right)\, dx = - \frac{17 \int \frac{1}{10 x + 17}\, dx}{10}$

               1. que $u = 10 x + 17$.

                  Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

                  $\int \frac{1}{10 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{10}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{10}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(10 x + 17 \right)}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{17 \log{\left(10 x + 17 \right)}}{100}$

            El resultado es: $\frac{x}{10} - \frac{17 \log{\left(10 x + 17 \right)}}{100}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{17 \log{\left(10 x + 17 \right)}}{10}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\left(10 x + 17\right) \log{\left(x + \frac{17}{10} \right)}}{10} - \frac{17}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\left(10 x + 17\right) \log{\left(x + \frac{17}{10} \right)}}{10} - \frac{17}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\left(10 x + 17\right) \log{\left(x + \frac{17}{10} \right)}}{10} - \frac{17}{10}+ \mathrm{constant}$