Integral de sqrt(9-y^2)-(9-y^2)/3 dy

1. Integramos término a término:

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=3*sin(_theta), rewritten=9*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=9, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=9*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(y > -3) & (y < 3), context=sqrt(9 - y**2), symbol=y)

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{9 - y^{2}}{3}\right)\, dy = - \frac{\int \left(9 - y^{2}\right)\, dy}{3}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dy = 9 y$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- y^{2}\right)\, dy = - \int y^{2}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{3}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{y^{3}}{3} + 9 y$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{3}}{9} - 3 y$

   El resultado es: $\frac{y^{3}}{9} - 3 y + \begin{cases} \frac{y \sqrt{9 - y^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: y > -3 \wedge y < 3 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{y^{3}}{9} + \frac{y \sqrt{9 - y^{2}}}{2} - 3 y + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: y > -3 \wedge y < 3 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{y^{3}}{9} + \frac{y \sqrt{9 - y^{2}}}{2} - 3 y + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: y > -3 \wedge y < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{y^{3}}{9} + \frac{y \sqrt{9 - y^{2}}}{2} - 3 y + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: y > -3 \wedge y < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}$