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Resolución de integrales/ (2x+1)/ (x³-1)/(2x+1)

Integral de (x³-1)/(2x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |    3       
 |   x  - 1   
 |  ------- dx
 |  2*x + 1   
 |            
/             
0
∫01x3−12x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3} - 1}{2 x + 1}\, dx 
Integral((x^3 - 1)/(2*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3−12x+1=x22−x4+18−98(2x+1)\frac{x^{3} - 1}{2 x + 1} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} - \frac{9}{8 \left(2 x + 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x22 dx=∫x2 dx2\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x36\frac{x^{3}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x4) dx=−∫x dx4\int \left(- \frac{x}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x28- \frac{x^{2}}{8}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−98(2x+1)) dx=−9∫12x+1 dx8\int \left(- \frac{9}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(2x+1)16- \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

      El resultado es: x36−x28+x8−9log⁡(2x+1)16\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3−12x+1=x32x+1−12x+1\frac{x^{3} - 1}{2 x + 1} = \frac{x^{3}}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x32x+1=x22−x4+18−18(2x+1)\frac{x^{3}}{2 x + 1} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x22 dx=∫x2 dx2\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: x36\frac{x^{3}}{6}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x4) dx=−∫x dx4\int \left(- \frac{x}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{4}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x28- \frac{x^{2}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−18(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}

          1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)16- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

        El resultado es: x36−x28+x8−log⁡(2x+1)16\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x+1) dx=−∫12x+1 dx\int \left(- \frac{1}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)2- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x36−x28+x8−log⁡(2x+1)2−log⁡(2x+1)16\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x36−x28+x8−9log⁡(2x+1)16+constant\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x36−x28+x8−9log⁡(2x+1)16+constant\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |   3                                2    3    
 |  x  - 1          9*log(1 + 2*x)   x    x    x
 | ------- dx = C - -------------- - -- + -- + -
 | 2*x + 1                16         8    6    8
 |                                              
/
∫x3−12x+1 dx=C+x36−x28+x8−9log⁡(2x+1)16\int \frac{x^{3} - 1}{2 x + 1}\, dx = C + \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   9*log(3)
- - --------
6      16
16−9log⁡(3)16\frac{1}{6} - \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{16} 
=
= 
1   9*log(3)
- - --------
6      16
16−9log⁡(3)16\frac{1}{6} - \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{16} 
1/6 - 9*log(3)/16
Respuesta numérica [src] 
-0.451302745709145
-0.451302745709145

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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