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Integral de xln^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2             
  /             
 |              
 |       2      
 |  x*log (x) dx
 |              
/               
1               
12xlog(x)2dx\int\limits_{1}^{2} x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx
Integral(x*log(x)^2, (x, 1, 2))
Solución detallada
  1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    u2e2udu\int u^{2} e^{2 u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2log(x)22x2log(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log(x)22log(x)+1)4\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log(x)22log(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2(2log(x)22log(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                              
 |                     2    2    2       2       
 |      2             x    x *log (x)   x *log(x)
 | x*log (x) dx = C + -- + ---------- - ---------
 |                    4        2            2    
/                                                
xlog(x)2dx=C+x2log(x)22x2log(x)2+x24\int x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.9001
Respuesta [src]
3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4                       
2log(2)+34+2log(2)2- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2}
=
=
3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4                       
2log(2)+34+2log(2)2- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2}
3/4 - 2*log(2) + 2*log(2)^2
Respuesta numérica [src]
0.324611666716512
0.324611666716512

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.