Integral de arcsin(x/2)-x/sqrt4-x2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(- x_{2}\right)\, dx = - x x_{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{4}}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. que $u = 1 - u^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{1 - u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + 2 \sqrt{1 - u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{2}$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = 1 - \frac{x^{2}}{4}$.

                  Luego que $du = - \frac{x dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

                  $\int \left(- \frac{2}{\sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

                  1. que $u = 4 - x^{2}$.

                     Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                     $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \sqrt{4 - x^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{4 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{4} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

   El resultado es: $- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$