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Resolución de integrales/ arcsin/ sin(x/2)/ arcsin(x/2)-x/sqrt4-x2

Integral de arcsin(x/2)-x/sqrt4-x2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  /    /x\     x       \   
 |  |asin|-| - ----- - x2| dx
 |  |    \2/     ___     |   
 |  \          \/ 4      /   
 |                           
/                            
0
∫01(−x2+(−x4+asin⁡(x2))) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- x_{2} + \left(- \frac{x}{\sqrt{4}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)\, dx 
Integral(asin(x/2) - x/sqrt(4) - x2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−x2) dx=−xx2\int \left(- x_{2}\right)\, dx = - x x_{2}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x4) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{\sqrt{4}}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2asin⁡(u) du\int 2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫asin⁡(u) du=2∫asin⁡(u) du\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=asin⁡(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

              Entonces du⁡(u)=11−u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. que u=1−u2u = 1 - u^{2}.

              Luego que du=−2ududu = - 2 u du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −1−u2- \sqrt{1 - u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 2uasin⁡(u)+21−u22 u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + 2 \sqrt{1 - u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          xasin⁡(x2)+21−x24x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=asin⁡(x2)u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=121−x24\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x21−x24 dx=∫x1−x24 dx2\int \frac{x}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{2}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=1−x24u = 1 - \frac{x^{2}}{4}.

              Luego que du=−xdx2du = - \frac{x dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

              ∫(−2u) du\int \left(- \frac{2}{\sqrt{u}}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−2∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −4u- 4 \sqrt{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −41−x24- 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              x1−x24=2x4−x2\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2x4−x2 dx=2∫x4−x2 dx\int \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx

              1. que u=4−x2u = 4 - x^{2}.

                Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

                ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −4−x2- \sqrt{4 - x^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: −24−x2- 2 \sqrt{4 - x^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −21−x24- 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

      El resultado es: −x24+xasin⁡(x2)+21−x24- \frac{x^{2}}{4} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    El resultado es: −x24−xx2+xasin⁡(x2)+21−x24- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

  2. Ahora simplificar:

    −x24−xx2+xasin⁡(x2)+4−x2- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x24−xx2+xasin⁡(x2)+4−x2+constant- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x24−xx2+xasin⁡(x2)+4−x2+constant- \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       ________                        
 |                                       /      2     2                   
 | /    /x\     x       \               /      x     x          /x\       
 | |asin|-| - ----- - x2| dx = C + 2*  /   1 - --  - -- + x*asin|-| - x*x2
 | |    \2/     ___     |            \/        4     4          \2/       
 | \          \/ 4      /                                                 
 |                                                                        
/
∫(−x2+(−x4+asin⁡(x2))) dx=C−x24−xx2+xasin⁡(x2)+21−x24\int \left(- x_{2} + \left(- \frac{x}{\sqrt{4}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)\, dx = C - \frac{x^{2}}{4} - x x_{2} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}
Simplificar
Respuesta [src] 
  9     ___        pi
- - + \/ 3  - x2 + --
  4                6
−x2−94+π6+3- x_{2} - \frac{9}{4} + \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} 
=
= 
  9     ___        pi
- - + \/ 3  - x2 + --
  4                6
−x2−94+π6+3- x_{2} - \frac{9}{4} + \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} 
-9/4 + sqrt(3) - x2 + pi/6

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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