Integral de 3ctg2x-7sin6x-3√x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 \sqrt{x}\right)\, dx = - 3 \int \sqrt{x}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{\frac{3}{2}}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7 \sin{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin{\left(6 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 6 x$.

            Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \cos{\left(6 x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cot{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int \cot{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

         2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

               Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

            Método #2

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \sin{\left(u \right)}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{2}$

                  1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{7 \cos{\left(6 x \right)}}{6}$

   El resultado es: $- 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{7 \cos{\left(6 x \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{7 \cos{\left(6 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{7 \cos{\left(6 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$