Integral de Sqrt(1-x^2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{3} = - x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=1/8 - cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/8, context=1/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=1/8 - cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2*sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(1 - 2 x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      El resultado es: $\begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} - \begin{cases} - \frac{x \left(1 - 2 x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{3} = - x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=1/8 - cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/8, context=1/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=1/8 - cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2*sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(1 - 2 x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      El resultado es: $\begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} - \begin{cases} - \frac{x \left(1 - 2 x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} + 5 x \sqrt{1 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} + 5 x \sqrt{1 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} + 5 x \sqrt{1 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$