Integral de x/(6-3*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{6 - 3 x} = - \frac{1}{3} - \frac{2}{3 \left(x - 2\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, dx = - \frac{x}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{3 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x}{3} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{6 - 3 x} = - \frac{x}{3 x - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{3 x - 6}\right)\, dx = - \int \frac{x}{3 x - 6}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{3 x - 6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \left(x - 2\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{3 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}$

            1. que $u = x - 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

         El resultado es: $\frac{x}{3} + \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{3} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{3} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{3} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$