Integral de (x+3)^10dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 3$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{10}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 3\right)^{11}}{11}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 3\right)^{10} = x^{10} + 30 x^{9} + 405 x^{8} + 3240 x^{7} + 17010 x^{6} + 61236 x^{5} + 153090 x^{4} + 262440 x^{3} + 295245 x^{2} + 196830 x + 59049$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30 x^{9}\, dx = 30 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 405 x^{8}\, dx = 405 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3240 x^{7}\, dx = 3240 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $405 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17010 x^{6}\, dx = 17010 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2430 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 61236 x^{5}\, dx = 61236 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10206 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 153090 x^{4}\, dx = 153090 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $30618 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 262440 x^{3}\, dx = 262440 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $65610 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 295245 x^{2}\, dx = 295245 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $98415 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 196830 x\, dx = 196830 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $98415 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 59049\, dx = 59049 x$

      El resultado es: $\frac{x^{11}}{11} + 3 x^{10} + 45 x^{9} + 405 x^{8} + 2430 x^{7} + 10206 x^{6} + 30618 x^{5} + 65610 x^{4} + 98415 x^{3} + 98415 x^{2} + 59049 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{11}}{11}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$