Sr Examen

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Integral de x/(x^2-x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1              
  /              
 |               
 |      x        
 |  ---------- dx
 |   2           
 |  x  - x + 1   
 |               
/                
0                
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral(x/(x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /             
 |              
 |     x        
 | ---------- dx
 |  2           
 | x  - x + 1   
 |              
/               
Reescribimos la función subintegral
             / 2*x - 1  \                            
             |----------|            /  1  \         
             | 2        |            |-----|         
    x        \x  - x + 1/            \2*3/4/         
---------- = ------------ + -------------------------
 2                2                             2    
x  - x + 1                  /     ___       ___\     
                            |-2*\/ 3      \/ 3 |     
                            |--------*x + -----|  + 1
                            \   3           3  /     
o
  /               
 |                
 |     x          
 | ---------- dx  
 |  2            =
 | x  - x + 1     
 |                
/                 
  
                       /                            
                      |                             
                      |             1               
  /                2* | ------------------------- dx
 |                    |                     2       
 |  2*x - 1           | /     ___       ___\        
 | ---------- dx      | |-2*\/ 3      \/ 3 |        
 |  2                 | |--------*x + -----|  + 1   
 | x  - x + 1         | \   3           3  /        
 |                    |                             
/                    /                              
---------------- + ---------------------------------
       2                           3                
En integral
  /             
 |              
 |  2*x - 1     
 | ---------- dx
 |  2           
 | x  - x + 1   
 |              
/               
----------------
       2        
hacemos el cambio
     2    
u = x  - x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                               
 |                                
 |  2*x - 1                       
 | ---------- dx                  
 |  2                             
 | x  - x + 1                     
 |                    /     2    \
/                  log\1 + x  - x/
---------------- = ---------------
       2                  2       
En integral
    /                            
   |                             
   |             1               
2* | ------------------------- dx
   |                     2       
   | /     ___       ___\        
   | |-2*\/ 3      \/ 3 |        
   | |--------*x + -----|  + 1   
   | \   3           3  /        
   |                             
  /                              
---------------------------------
                3                
hacemos el cambio
      ___         ___
    \/ 3    2*x*\/ 3 
v = ----- - ---------
      3         3    
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
2* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              2*atan(v)
-------------- = ---------
      3              3    
hacemos cambio inverso
    /                                                              
   |                                                               
   |             1                                                 
2* | ------------------------- dx                                  
   |                     2                                         
   | /     ___       ___\                                          
   | |-2*\/ 3      \/ 3 |                                          
   | |--------*x + -----|  + 1                /    ___         ___\
   | \   3           3  /             ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
   |                                \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
  /                                           \    3         3    /
--------------------------------- = -------------------------------
                3                                  3               
La solución:
                                /    ___         ___\
                        ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
       /     2    \   \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
    log\1 + x  - x/             \    3         3    /
C + --------------- + -------------------------------
           2                         3               
Respuesta (Indefinida) [src]
                                                   /    ___           \
  /                                        ___     |2*\/ 3 *(-1/2 + x)|
 |                        /     2    \   \/ 3 *atan|------------------|
 |     x               log\1 + x  - x/             \        3         /
 | ---------- dx = C + --------------- + ------------------------------
 |  2                         2                        3               
 | x  - x + 1                                                          
 |                                                                     
/                                                                      
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
     ___
pi*\/ 3 
--------
   9    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
     ___
pi*\/ 3 
--------
   9    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
pi*sqrt(3)/9
Respuesta numérica [src]
0.604599788078073
0.604599788078073

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.